groupe cyclique et non cyclique
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groupe cyclique et non cyclique



  1. #1
    hmzapc

    groupe cyclique et non cyclique


    ------

    Bonsoire
    pour quoi un goupe à 3 elements pare exp (e;a;a^2) ne peut etre que cyclique mais un groupe à 4 élements peut etre cyclique comme il peut ne pas etre ; comment montrer ca !

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : groupe cyclique et non cyclique

    Bonjour,

    Pour le groupe à 3 éléments, il suffit d'envisager les différentes valeurs possibles pour a² (il n'y en a qu'une, pour le démontrer, cela dépend des théorèmes que vous connaissez (sans aucun théorème sophistiqué, cela prend 1 ligne, donc ce n'est très difficile de toute façon))

    Pour le cas à 4 éléments il y a plusieurs possibilités (une cyclique et pas l'autre)
    Dernière modification par Médiat ; 18/03/2017 à 19h10.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    minushabens

    Re : groupe cyclique et non cyclique

    Comme indiqué par Médiat, pour le groupe à 3 éléments on n'a pas le choix et c'est facile de s'en rendre compte "à la main". Mais il y a un argument qui permet de traiter d'un coup tous les groupes d'ordre premier. Soit G un tel groupe. Tu considères un élément a de G différent de 1. Le sous-groupe <a> engendré par a est d'ordre fini, diviseur de l'ordre du groupe. Comme <a> contient 1 et a cet ordre n'est pas 1 et donc est nécessairement égal à l'ordre de G qui est donc cyclique (engendré par a).

  4. #4
    Médiat

    Re : groupe cyclique et non cyclique

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    diviseur de l'ordre du groupe.
    C'est le théorème (de Lagrange) auquel je faisais allusion
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Tryss2

    Re : groupe cyclique et non cyclique

    Il n'y a d'ailleurs qu'un seul groupe cyclique à n éléments (à isomorphisme prêt)

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