Diagonalisation matrice carrée
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 15 sur 15

Diagonalisation matrice carrée



  1. #1
    mehdi_128

    Diagonalisation matrice carrée


    ------

    Bonjour,

    Soit A une matrice de Mn(R). On suppose qu'il existe P appartenant à R[X] P non nul tel que

    1/ Donner une condition suffisante sur P pour que A soit trigonalisable dans Mn(R).

    2/ Donner une condition suffisante sur P pour que A soit diagonalisable dans Mn(R).

    3/ Soit A appartenant à Mn(C). On suppose qu'il existe P appartenant à C[X] P non nul tel que
    Que deviennent les conditions précédentes lorsqu'on s'intéresse à la trigonalisation ou diagonalisation de A dans Mn(C) ?

    Il faut utiliser le polynôme minimal ? Ou le polynôme caractéristique ?

    Merci.

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Bonjour.

    Ces questions sont des questions de cours. Apprends-le.

    A noter : On parle de conditions suffisantes, donc la plupart des polynômes tels que P(A)=0 ne les vérifient pas.

    Cordialement.

  3. #3
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.

    Ces questions sont des questions de cours. Apprends-le.

    A noter : On parle de conditions suffisantes, donc la plupart des polynômes tels que P(A)=0 ne les vérifient pas.

    Cordialement.
    Le cours parle pas d'un polynôme P mais de polynôme caractéristique ou de polynôme minimal.

    Le polynome caractéritiques est det(A-XI) je vois pas le rapport avec P(A)

  4. #4
    slivoc

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Bonjour,

    Peut être que c' est juste après dans les cours, mais en tout cas, nous cette année on a parlé de polynômes annulateurs et de leurs liens avec le polynôme minimal. Notamment avec le théorème de cayley-hamilton et le lemme des noyaux, qui dans ces questions peuvent servir!

    Bonne soirée !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Bonjour,

    Peut être que c' est juste après dans les cours, mais en tout cas, nous cette année on a parlé de polynômes annulateurs et de leurs liens avec le polynôme minimal. Notamment avec le théorème de cayley-hamilton et le lemme des noyaux, qui dans ces questions peuvent servir!

    Bonne soirée !
    Merci je viens de voir ça

    donc
    Dernière modification par mehdi_128 ; 01/05/2017 à 22h12.

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Comme tu as parlé de polynôme minimal, je supposais que tu savais que P est un multiple du polynôme minimal. Si tu as appris ce que c'est ... donc sérieusement réfléchi au cours.

    NB : Bizarre, ton dernier message; le P de ta formule n'a rien à voir avec ton exercice, c'est juste la notation pour un polynôme.
    Dernière modification par gg0 ; 01/05/2017 à 22h50.

  8. #7
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Comme tu as parlé de polynôme minimal, je supposais que tu savais que P est un multiple du polynôme minimal. Si tu as appris ce que c'est ... donc sérieusement réfléchi au cours.

    NB : Bizarre, ton dernier message; le P de ta formule n'a rien à voir avec ton exercice, c'est juste la notation pour un polynôme.
    Bah P(x) = det(A-XI) donc P(A)=0

    et le P de l'énoncé est un polynôme annulateur
    Dernière modification par mehdi_128 ; 01/05/2017 à 23h07.

  9. #8
    slivoc

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    P(x)=det(A-XIn) est un réel ( ou complexe ) alors que P(A) est un endomorphisme. Il me semble ( un prof nous en a parlé je crois ) que l' on peut faire ce que vous avez fait en évaluant le polynôme caractéristique en A, mais il me semble qu' il faut travailler un peu avant de pouvoir l' écrire !

    Bonne soirée

  10. #9
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    P(x)=det(A-XIn) est un réel ( ou complexe ) alors que P(A) est un endomorphisme. Il me semble ( un prof nous en a parlé je crois ) que l' on peut faire ce que vous avez fait en évaluant le polynôme caractéristique en A, mais il me semble qu' il faut travailler un peu avant de pouvoir l' écrire !

    Bonne soirée
    C'est défini dans le cours le polynôme d'endomorphisme

  11. #10
    slivoc

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Si on évalue le polynome caractéristique en A, P(A)=det(A-A.In)=det(Matrice nulle)=0, ici c' est le 0 réel et pas l' endomorphisme nul.

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    En tout cas, une fois vu que le P de l'énoncé (qui n'a aucune raison d'être le polynôme caractéristique de la matrice) est un polynôme annulateur, il n'y a plus qu'à regarder dans le cours et répondre.

  13. #12
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    En tout cas, une fois vu que le P de l'énoncé (qui n'a aucune raison d'être le polynôme caractéristique de la matrice) est un polynôme annulateur, il n'y a plus qu'à regarder dans le cours et répondre.
    Le cours donne les conditions sur le polynôme caractéristique donc je fais comment ?

  14. #13
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    "u est diagonalisable si et seulement si il est annulé par un polynôme scindé à racines simples"

    Trouvé ça sur un cours sur internet c'était pas dans mon cours

  15. #14
    slivoc

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Ca vient du fait qu un endomorphisme u est diagonalisable ssi sont polynôme minimal est scindé à racine(s) simple(s) et que tout polynôme P annulateur de u est de la forme P=M.Q où M est le polynôme minimal de u et Q un polynôme.

  16. #15
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation matrice carrée

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Ca vient du fait qu un endomorphisme u est diagonalisable ssi sont polynôme minimal est scindé à racine(s) simple(s) et que tout polynôme P annulateur de u est de la forme P=M.Q où M est le polynôme minimal de u et Q un polynôme.
    Exact merci !

    Le polynôme caractéristique se factorise mais si la racine est multiple ça sera de la forme (X-lambda1)^m1 (multiplicité de la racine) alors que le polynôme minimal se factorisera de la forme (X-lambda1)

Discussions similaires

  1. Diagonalisation Matrice
    Par KeempAA dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 05/12/2015, 21h04
  2. Diagonalisation d'une matrice utilisant une matrice unitaire
    Par medaminman dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 27/02/2015, 02h37
  3. matrice carrée symétrique positive et matrice stochastique ?
    Par julien_4230 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 17
    Dernier message: 08/07/2013, 17h33
  4. Diagonalisation de matrice
    Par bratak dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 28/09/2009, 16h31
  5. diagonalisation d'une matrice
    Par invite9ab97b7e dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 13
    Dernier message: 01/04/2007, 14h07