Liens entre homotopie et homologie et fibré principaux

[Oss118]

Bonjour,
J'aimerai comprendre ca en profondeur. Du coup je vais me pencher en détail sur la théorie dans les jours qui arrivent. Avant de véritablement commencer j'ai trois questions. Il n'y a pas de lien entre les deux mais je les poste ensemble.

1/ Quels sont les liens entre la théorie de l'homotopie et la théorie de l'homologie? Je veux dire j'ai l'impression qu'elles servent à la meme chose. Y a t il des exemples simples qui permettent de comprendre dans quels cas on préfère utiliser l'une ou l'autre? Et c'est quoi le lien?

2/ Un morphisme entre fibré principaux est un isomorphisme. Je suis sur que c'est vrai car on le trouve écrit partout. Pourtant à partir d'un fibré principal on peut construire un fibré vectoriel et réciproquement et il y a bien des morphismes de fibrés vectoriels qui ne sont pas des isomorphismes non? Comment est ce possible s'il n'y a qu'une classe d'équivalence de fibré principaux?

3/ Quels livres recommandez vous qui traiterait tout ca?

Merci à tous de votre aide.
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[AncMath]

Ta première question est beaucoup plus riche que la seconde et développer une réponse complète prendrait sans doute longtemps.

Commençons donc par la seconde question.

Oui c'est vrai qu'un morphisme entre -fibrés principaux est automatiquement un isomorphisme. D'ailleurs la démonstration tient en quelques lignes. Je t’encourage à essayer de la rédiger, c'est très facile.

Ensuite j'imagine que tu parles de fibrés principaux. Effectivement si tu as un tel fibré principal tu peux facilement lui associer un fibré vectoriel qui aura les memes fonctions de transitions. Plus précisement si désigne sur lequel agit de la manière à laquelle on pense, alors si tu as un -fibré principal tu as un fibré vectoriel où l'action de est là aussi celle que tu imagines . La construction réciproque consiste à regarder les fonctions de transitions de ton fibré vectoriel et de construire le -fibré principal qui a les mêmes fonctions de transitions. C'est ennuyeux à mourir à écrire mais pas difficile. Mais dans tous les cas ça c'est pas une équivalence de catégorie !
Tu as des morphismes entre fibrés vectoriels qui ne proviennent pas de morphismes des fibrés principaux auxquels ils sont associés. Pis tu as des morphismes égaux en tant que morphismes de fibrés vectoriels qui proviennent de morphismes différents en tant que morphismes de fibrés principaux.

Essaie de construire un tel exemple. Tu ne devrais pas avoir à chercher beaucoup.

Et surtout

Comment est ce possible s'il n'y a qu'une classe d'équivalence de fibré principaux?

S'il n'y avait qu'une seul fibré principal sur toute base la théorie serait bien pauvre et la vie bien triste. C'est pas parce que tous les morphismes sont des isomorphismes que tous les fibrés principaux sont isomorphes. Tu ne vois pas deux fibrés principaux sur le cercle qui ne soient pas isomorphes ?
En jouant un petit peu avec un élastique la réponse devrait t'apparaître.

[AncMath]

Passons à la question vraiment intéressante

1/ Quels sont les liens entre la théorie de l'homotopie et la théorie de l'homologie? Je veux dire j'ai l'impression qu'elles servent à la meme chose. Y a t il des exemples simples qui permettent de comprendre dans quels cas on préfère utiliser l'une ou l'autre? Et c'est quoi le lien?

Les deux théories sont sœurs. L'énorme avantage de la cohomologie est qu'elle est très facilement calculable. N'importe qui est capable de calculer la cohomologie des sphères. A ce jour la seule sphère dont on connait tous les groupes d'homotopies c'est .
Si tu te retrouves en situation où ce qu'il te faut c'est calculer précisément des invariants alors la cohomologie aura surement ta faveur.
L'homotopie retient a priori beaucoup plus d'information et est plus versatile. En fait on peut dire en un certain sens que ce qui nous intéresse vraiment c'est de la catégorie homotopique des espace topologiques. Enfin de certains espaces topologiques. La cohomologie est un outil pour ça.
Mais en fait la différence entre les deux théorie n'est pas si claire qu'elle n'y parait a priori notamment parce qu'une bonne partie de l'homotopie est capturée par la cohomologie.

Je te propose d'explorer quelques liens entre les deux sur quelques messages. Comme je ne sais pas à quel niveau tu te places partons de choses de très élémentaire et on augmentera le niveau petit à petit.

Désolé pour le "teasing" mais je suis un peu fatigué là je te raconterai ça demain.

[AncMath]

Donc comme je disais tu as déjà un premier lien de nature très simple qui est donné par l'application de Hurewicz. L'existence de cette application provient de l'observation suivante :

Si est une application continue alors elle induit un morphismes pour tout qui ne dépend que de la classe d'homotopie de .

Tu obtiens donc une application maintenant si tu prends pour la sphère alors tout la cohomologie disparaît sauf celle en degré 0 et n et tu as une application . Cette application est un morphisme de groupe car est un h-cogroupe, un h-groupe étant un groupe à homotopie près et un h-cogroupe est la notion obtenue en "renversant les flèches".

Cette application est toujours un épimorphisme, un morphisme surjectif, pour et connexe par arcs. En fait si est -connexe ce sera un isomorphisme pour tout et un épimorphisme pour .

En fait il y a en germe ici la question suivante : peut on trouver une collection d'espaces pour lesquels calculer les classes d'homotopies d'applications depuis cet espace donnent l'homologie du but ou mieux pour lesquels calculer les classes d'homotopies à valeur dans cet espace donne exactement la cohomologie de la source ? La réponse est oui et en un sens très général. Je reviendrai la dessus tout à l'heure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

Avant revisitons un peu cette application d'Hurewicz de manière plus suggestive. Une manière de construire la catégorie homotopique topologique consiste à regarder la catégorie des CW-complexes et de prendre comme morphismes les classes d'homotopies d'application. C'est un bon choix entre autre grâce aux théorème de Whitehead qui dit que les équivalences faibles, c'est à dire les applications qui induisent des isomorphismes sur TOUS les groupes d'homotopies, et les équivalences d'homotopie coïncident sur la catégorie des CW-complexes. Autrement dit il n'y a pas d'application "fantôme" que l'on manque.

Il y a une autre manière, essentiellement due à Quillen, de construire cette catégorie qui est plus simple car plus combinatoire.

Notons la catégorie simpliciale, c'est celle dont les objets sont et dont les morphismes de dans sont donnés par les applications monotones. Cette catégorie "modèle" la combinatoire des simplexes. Tu as un foncteur de realisation dans TOP la catégorie des espaces topologiques donné par ce que tu imagines : on envoie sur le n-simplexe standard et une application est envoyé sur l'unique application affine qui envoie les sommets de manière prescrite par .

Un ensemble simplicial est un foncteur un morphisme d'ensemble simpliciaux c'est un morphisme de foncteurs, la catgéorie obtenue est sSet. C'est une recette qui dit comment attacher les simplexes topologiques entre eux. A un telle recette on peut associer un vrai espace topologique sa réalisation qui est fonctorielle et qui recolle les simplexes topologiques. Ça parait déroutant au début parce qu'une bonne partie des simplexes est "dégénérée" c'est à dire qu'il s'envoie sur des simplexes de dimension strictement inférieure via la realisation. Par exemple le 1-simplexe standard possède trois -simplexes, celui auquel on s'attend mais aussi un pour chaque extrémité de qui sont totalement "écrasés". Bon on s'y habitue à ca, c'est même plutôt pratique.

Si tu as un espace topologique tu peux lui associer un ensemble simplicial on the nose. Il te faut spécifier ce qu'est c'est l'ensemble de tous les -simplexes singuliers de . Et l'homologie commence à pointer son nez.

Si est un ensemble simplicial, qu'on pense comme une collection avec les applications d'attache "abstraites". On peut lui associer un groupe simplicial , un groupe simplicial étant la même chose qu'un ensemble simplicial mais les foncteurs sont à valeurs dans la catégorie des groupes abéliens au lieu des ensembles. On prend simplement pour le groupe abélien libre sur .

Maintenant si on a un groupe simplicial il a un complexe de groupe abéliens associé. En effet dans les applications tu en as des particulières : celles qui "sautent" un et que l'on note si tu penses à la réalisation de ces applications tu t’aperçois qu'elles correspondent à l'inclusion des faces d'un (n+1)-simplexe.

Tu peux donc regarder
C'est un complexe de groupe abéliens noté

Il devrait être a peu près clair à ce stade que .
En fait les foncteurs de realisation et de singularisation ne sont pas des équivalences de catgéorie mais ce qu'on appelle des équivalences de Quillen. Grosso modo c'est ce qu'il faut pour avoir des équivalences dans la catégorie homotopique.
Ainsi tu as aussi

Mais il y a mieux !

Les groupes d'homotopies d'un ensemble simplicial sont définis comme les groupes d'homotopies de sa réalisation. En fait on peut en donner une autre description mais celle ci nous suffira pour la suite.
Si est un groupe simplicial alors c'est a fortiori ensemble simplicial si on oublie la structure de groupe : . Dans ce cas est isomorphe à .

En particulier l'application donnée par te donne une application . Cette application est l'application de Hurewicz.

Note que cette présentation est très puissante. Elle permet de prouver tous les axiomes de Eilienberg-Steenrod pour l'homologie ordinaire purement de manière algébrique.

[AncMath]

A ce niveau là, je te conseille de faire une petite pause pour réfléchir à tout ça. Va prendre un café, fais une petite promenade. Ça aide à comprendre les choses.

Revenons à la question en suspens.

peut on trouver une collection d'espaces pour lesquels calculer les classes d'homotopies d'applications depuis cet espace donnent l'homologie du but ou mieux pour lesquels calculer les classes d'homotopies à valeur dans cet espace donne exactement la cohomologie de la source ?

De la même manière qu'on a construit l'application d'Hurewicz plus haut en homologie on peut le faire pour pas plus cher en cohomologie. On prend une classe d'homotopie d'application entre et et on obtient un morphisme . La cohomologie de la sphère étant ce qu'elle est on a une application ENSEMBLISTE . Mais il y a plusieurs problemes avec ça.

1) Si la sphère est un brave h-cogroupe, elle n'est pas un h-groupe en général et donc on ne voit pas trop comment munir d'une structure de groupe.
2) En fait finalement le seul intérêt de la sphère dans tout ça c'est que .

On aimerait bien remplacer la sphère par quelque chose qui soit équivalent à un espace de lacet pour avoir une structure de groupe, et qui vérifie également 2) mais de la manière la plus simple possible, la sphère étant homotopiquement très compliquée. Par exemple on aimerait bien trouver un espace tel que pour et .
Cet espace serait véritablement meilleur que plus haut grâce justement au théorème d'Hurewicz. Ses (n-1) premiers groupes d'homologie réduite seraient nuls et le n-ième vaudrait exactement .
Si un tel CW-complexe existe, il est unique à homotopie près. Ça n’apparaît pas de manière évidente sur la définition mais ça n'est pas très difficile à démontrer enfin ça demande quand même un peu de travail.

Mais ca nous assure quelque chose de fantastique. Il est bien clair que si l'on a un alors est un et donc on a une structure de h-groupe gratuite sur les .

Il reste à les construire. J'omet comment on peut faire ça. Ça n'est pas très éclairant même si ça nous donne leur existence. A titre d'exemple tu peux remarquer que est .

A partir de là on montre facilement que est un morphisme de groupe. C'est en fait un isomorphisme ! Mais c'est plus délicat à démontrer.

L'homologie apparaît ici comme un cas particulier de l'homotopie. Mais on peut aller beaucoup plus loin que ça !

[AncMath]

A tout seigneur tout honneur j'ai oublié de préciser que les s'appelaient les complexes d'Eilenberg-MacLane. On les note aussi

[AncMath]

On continue ?

Revenons un peu aux fibrés principaux. On peut regarder le foncteur suivant défini sur la catégorie opposée aux CW-complexes qui associe à l'ensemble des classes d'isomorphismes des -fibrés principaux dessus.

Ca ressemble pas mal à de la cohomologie dans le sens où ce foncteur est additif : il transforme somme pointé en produit; il satisfait à la propriété de Mayer-Vietoris et au dessus du point il est trivial. D'autre part il est défini sur la catégorie homotopique des CW-complexes puisque deux applications homotopes donnent un pull-back isomorphe.

Le miracle est que ce genre de foncteur est toujours représenté par les classes d'homotopie dans un espace donné. C'est le théorème de représentabilité de Brown. En fait même dans le cas de la cohomologie ordinaire ce théorème te dit déjà plus que ce qui était dit dans mon message précédent.

Il ne se contente pas de dire que est une bijection il te dit que toute classe de morphisme qui soit fonctorielle provient d'une application de . Par contre le théorème ne te dit pas que c'est un isomorphisme de groupes, simplement d'ensemble pointés. Mais comme je te l'ai dit cela provient de la structure de h-groupe des espace de Eilenberg-MacLane.

La question qui brûle les lèvres est alors qui est cet espace dans le cas de ?
Cet espace on le note , il vient équippé avec un élément distingué qui correspond à l'image de l'identité de dans qui est noté . C'est le -fibré principal universel. Se donner un -fibré principal sur un CW-complexe c'est donc se donner une classe d'homotopie d'application dans et le fibré est alors donné par pull-back de .

Voyons l'exemple le plus fondamental au prochain message.
Je réalise que j'en dis "beaucoup" en peu de temps, CA fait peut être pas mal d'info a digérer. N’hésite pas à me demander si tu veux un éclaircissement sur un point donné. Ou à me le dire si ma réponse ne te convient pas !

[Anonyme007]

S'il n'y avait qu'une seul fibré principal sur toute base la théorie serait bien pauvre et la vie bien triste. C'est pas parce que tous les morphismes sont des isomorphismes que tous les fibrés principaux sont isomorphes. Tu ne vois pas deux fibrés principaux sur le cercle qui ne soient pas isomorphes ?
En jouant un petit peu avec un élastique la réponse devrait t'apparaître.

Tu fais peut être allusion au cylindre et au ruban de Moebius qui ne sont pas isomorphes, non ?
Mais, n'est-il pas contradictoire d'affirmer :

C'est pas parce que tous les morphismes sont des isomorphismes que tous les fibrés principaux sont isomorphes.

Je suis perdu.

[AncMath]

Non pas le cylindre et la bande de Möbius qui ne sont pas des -fibré principaux. Je pensais au revêtement trivial à deux feuillets du cercle et à l'unique revêtement connexe de degré 2 du cercle. Il n'y a aucun morphisme -fibré principaux de l'un dans l'autre.

[Anonyme007]

Ah d'accord, Merci.
Pourquoi le cylindre et la bande de Moebius ne sont pas des - fibrés principaux ?
A ma connaissance, agit sur , et que correspond à l'identité, et correspond à l'opposé de l'identité, non ? Le ruban de Moebius s'identifie par contre à . non ?

[AncMath]

C'est sérieux comme remarque ? Leurs fibres n'ont pas le bon nombre d'éléments.

[AncMath]

Bon j'avais promis un exemple alors je donne un exemple. Prenons . Cet exemple est très important parce qu'il classifie aussi les -fibrés principaux et donc les fibrés vectoriels complexes. En fait on a une équivalence d'homotopie entre et .

Pour cela regardons l'action naturelle de sur les familles orthonormées de . Il est bien connu que agit transitivement sur . Si l'on voit comme le sous groupe de où agit sur les premières composantes d'un vecteur de alors on a une bijection . Comme est un sous groupe de Lie de , l'ensemble hérite d'une structure de variété différentielle et elle s'appelle la variété de Stieffel des -plans dans .

Si l'on regarde l'ensemble des -plans dans on a une surjection tautologique et l'on muni de la topologie quotient. En fait est une fibration localement triviale de sorte qu'il existe une structure lisse sur rendant la projection lisse. On appelle la Grassmannienne des -plans dans . On voit facilement que s'identifie à et c'est un fibré principal dessus.

On peut envoyer dans en l'envoyant sur les dernières coordonnées et ceci nous donne un système inductif et si l'on pose la limite directe du premier et la limite directe du second. On a une fibré -principal.

Reste à montrer qu'il est universel. Pour cela on remarque qu'on a un critère tres simple pour savoir si on a les "bonnes cellules de basse dimension".

Si est un -fibré principal dont l'espace total est -connexe alors il est universel pour les -fibrés principaux de base de dimension au plus .

Ce critère se prouve par un argument assez classique utilisant le fait crucial que si on a une CW-paire alors est une cofibration.

Maintenant on a une fibration en identifiant au stabilisateur du premier vecteur de base dans et la suite exacte longue d'homotopie nous permet donc de calculer certains . En fait on a juste besoin de savoir que est un isomorphisme pour par le lemme d'approximation cellulaire par exemple.

Ceci nous assure que est nul pour et donc que est universel pour les -fibrés principaux sur une base de dimension au plus .

Par suite par de petits argument ennuyeux mais pas difficiles de recollement on voit que est bien le -fibré principal universel.

Pour pas plus cher on aussi le fibré universel pour les fibrés vectoriels complexes de rang . On peut aussi facilement modifier cet argument pour les fibrés orientés ou les fibrés réels.

Mais y a quand meme quelque chose de très tentant à faire à ce stade.

On a construit , on aimerait bien savoir si on peut comparer et . La réponse est que l'on peut là aussi tout recoller ensemble pour n'obtenir qu'un unique décidément très universel. Le théorème de Brown va jouer à fond pour ça puisqu'il nous dit que pour construire des applications à homotopie près il nous suffit de construire des applications fonctorielles des fibrés principaux sur une base donnée dans les fibré principaux sur cette même base. Et là on a plein d'idées ! Somme, stabilisation etc...

C'est le début du cobordisme.

Une autre chose très tenante à faire est de calculer la cohomologie des espaces qu'on vient de créer. C'est la théorie des classes caractéristiques.

Dans tous les cas, j'espère t'avoir montré comment une question de nature cohomologique ou de classification amène naturellement à des questions homotopiques et que c'est l'"interplay" entre tous ces points de vues et techniques qui est intéressant et qui fait que l'on ne peut cloisonner hermétiquement l'un et l'autre.

Si cela t'intéresse on peut discuter de ce lien plus profondément et du lien très fort entre homotopie stable et cohomologie là aussi donné par le merveilleux théorème de Brown.

[Oss118]

Merci beaucoup AncMath pour ta réponse très très très détaillée mais à vrai dire mes questions étaient beaucoup plus simples. Par exemple pour classifier les courbes faut-il utiliser l'homologie ou l'homotopie et comment savoir a l'avance? Je te remercie quand même beaucoup de l’énergie que tu as employée à me répondre je ne peux pas vraiment comprendre ta réponse mais elle a l'air de qualité. Plus tard je pourrais la lire et la comprendre j'espère.

[AncMath]

Pour classifier les courbes topologiques tu n'as ni besoin d'homologie ni d'homotopie. Exploite seulement la définition de courbe topologique : espace topologique T2 dénombrable à l'infini et localement isomorphe à un ouvert de la droite réelle.

[AncMath]

Je te donnerai un autre conseil si tu veux appréhender par toi même la différence entre homotopie et homologie. Essaie de faire des calculs de groupes d'homotopie et de cohomologie par toi-même.
Un excellent exercice est de calculer les anneaux de cohomologie et les groupes d'homotopies des espaces lenticulaires. Il s'y passe des choses assez subtiles qu'il est fascinant d'explorer par soi même si on a un peu de temps à y consacrer.

[Oss118]

Pourriez vous me montrer comment on calcule ce genre de choses? Je n'ai encore jamais fait un tel calcul concret et je suis allé voir sur wikipédia la définition d'un espace lenticulaire. Je n'ai aucune idée de comment faire pour calculer les groupes d'homologie ou d'homotopie?

[AncMath]

Il est un peu tard pour faire des calculs mais allons y.

Je te rappelle donc la définition que nous allons utiliser. On regarde les vecteurs de module 1 dans qui est un espace qui s'identife à la sphère . On prend deux entiers premier entre eux et désignera une racine primitive -ième de l'unité. On a une action continue de sur donnée par . C'est une action propre et libre et on note le quotient.

L'action étant propre et libre on a un revetement de groupe d'automorphisme . Il s'ensuit que car est 1-connexe et que . Bien sûr on va pas essayer de calculer explicitement ces derniers. Disons quand même que par le lemme d'approximation cellulaire et que par le théorème de suspension de Freudenthal.

Dans tous les cas les groupes d'homotopie de ne dépendent pas de . D'autre part ils sont équipés d'une action de mais on voit facilement que cette action est triviale puisque l'action de est elle même homotopiquement triviale sur .

Si on réfléchit une seconde on se dit bah par le théorème de Whitehead les doivent avoir tous le même type d'homotopie à fixé. Il est a peu près clair que les ont une CW-structure, il suffit de prendre une structure cellulaire assez petite pour que agisse sans intersecter les cellules. A vrai dire c'est un fait général. Rien de bien excitant. Mais si on réfléchit une seconde de plus on se dit le théorème de Whitehead nécéssite une application qui réalise l'équivalence faible pour pouvoir en conclure qu'on a une équivalence d'homotopie. Et si on cherche cette équivalence faible on peut la chercher longtemps car il n'y en a pas !!

Mais les groupes d'homotopies ne le lisent pas. Les groupes de cohomologie non plus d'ailleurs. Il faut aller chercher quelque chose de plus subtil : la structure d'anneau sur la cohomologie va différer sur certains . Faire le calcul n'est pas bien compliqué il suffit de trouver une bonne structure cellulaire comme je le disais dans mon paragraphe précédent. Je ferai ça demain si tu veux bien.

[AncMath]

Calculons la cohomologie à coefficients dans . Pour cela on construit une structure cellulaire par récurrence. Prend le cercle équatorial de et divise le en segments correspondant aux racines de l'unité. Puis tu suspend cette structure pour avoir une structure cellulaire sur vu comme disons intersecté avec les vecteurs de norme 1 de . Ca te donne une struture cellulaire de type "agrume" sur celle ci, avec des quartiers et l'équateur en plus. Suspend encore une fois cette structure cellulaire et tu as une CW-structure bona fide sur . Il est clair que comme permute les racines de l'unité sur vu comme intersecté avec la 3-sphère, l'action de envoie chaque cellule ouverte sur une autre et ce de manière homéomorphique. Et ca te donne une CW-structure sur le quotient.

Dans cette structure sur il y a exactement 1 cellule de dimension 0, 1 de dimension 1, 1 de dimension 2 et 1 de dimension 3 notées . L'image réciproque de chaque est donée par l'orbite de l'action de sur n'importe quelle cellule ouverte de dimension .

Le complexe cellulaire s'écrit donc . Comme le degré d'une rotation agissant sur est 1, car c'est une équivalence d'homotopie on voit que les applications de bords dans ton complexes alternent entre la multiplication par et par .

Tu obtiens donc . C'est alors facile de calculer l'homologie à coefficient dans ce qu'on veut. Sur cela donne .

[AncMath]

Il faut aller chercher quelque chose de plus subtil : la structure d'anneau sur la cohomologie va différer sur certains . Faire le calcul n'est pas bien compliqué il suffit de trouver une bonne structure cellulaire comme je le disais dans mon paragraphe précédent. Je ferai ça demain si tu veux bien.

Je viens de refaire le calcul tout à fait par hasard et pour des besoins autres et en fait j'ai dit une bêtise : la structure multiplicative sur la cohomologie ne dépend pas de l'action de . Je ne sais pas pourquoi j'avais ça en tête.