Formule à la Ramanujan
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Formule à la Ramanujan



  1. #1
    juliendusud

    Formule à la Ramanujan


    ------

    Bonjour,

    Voici une petite formule que l'on peut facilement vérifier avec une calculatrice, qui saura la démontrer rigoureusement?



    où 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... est la suite définie par u(n)=2n²+1

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : Formule à la Ramanujan

    Bonjour,

    Citation Envoyé par juliendusud Voir le message
    où 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... est la suite définie par u(n)=2n²+1
    Quand on compare, cela ne donne pas vraiment la même chose...

    une petite formule que l'on peut facilement vérifier avec une calculatrice
    Vérifier une égalité à la calculatrice, ça existe ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    juliendusud2

    Re : Formule à la Ramanujan

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Bonjour,

    Quand on compare, cela ne donne pas vraiment la même chose...
    Pardon, c'est n²+1, on démarre à n=2.

  4. #4
    Médiat

    Re : Formule à la Ramanujan

    Bonjour,

    On peut commencer à n = 1 et u(n)=n²+1 sous la forme

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    juliendusud

    Re : Formule à la Ramanujan

    C'est encore plus esthétique, bien joué.

  7. #6
    azizovsky

    Re : Formule à la Ramanujan

    Bonjour,

    On commencer à n =0 et u(n)=n²+1 sous la forme


  8. #7
    azizovsky

    Re : Formule à la Ramanujan

    ce qui donne ???

  9. #8
    azizovsky

    Re : Formule à la Ramanujan

    rectification:
    Citation Envoyé par azizovsky Voir le message
    Bonjour,

    On commence à n =0 et u(n)=n²+1 sous la forme


  10. #9
    juliendusud

    Re : Formule à la Ramanujan

    En généralisant encore à tous les entiers naturels on tombe sur une très jolie formule :



    avec u_n = (n+1)² + 1

    Qui saura la démontrer ?

  11. #10
    Médiat

    Re : Formule à la Ramanujan

    Jolie généralisation, et sans difficulté supplémentaire :

    Si on appelle f(n) cette formule, il est évident que f(n) ==> f(n+1), pour avoir une démonstration par récurrence, il suffit de démontrer f(0) qui est exactement la formule du message #4
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Formule à la Ramanujan

    par récurrence simple :
    sachant que n²-Un= -2(n+1)

    edit: pas vu le mess précédent de Médiat.
    Dernière modification par ansset ; 27/05/2017 à 11h02.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #12
    azizovsky

    Re : Formule à la Ramanujan

    Citation Envoyé par juliendusud Voir le message
    En généralisant encore à tous les entiers naturels on tombe sur une très jolie formule :



    avec u_n = (n+1)² + 1

    Qui saura la démontrer ?
    pour trouver le cas à n=0, j'ai passer par cette formule.(on cherchant 'l'opération inverse ', ça sert à rien de modifier n²+1...., 0=4????)

    la beauté vient après l'exactitude .
    Dernière modification par azizovsky ; 27/05/2017 à 11h12.

  14. #13
    eudea-panjclinne

    Re : Formule à la Ramanujan

    Je dirais plutôt que c'est une formule à la Euler qui ne craignait pas d'écrire :

    en tirant par les cheveux le développement en série de .

    On considère la suite définie par récurrence

    Puis on écrit à l'infini en fonction des autres termes ... en utilisant l'égalité "inverse" fausse:



    parce que tous les termes de la suite sont négatifs sauf !
    Donc ceci n'a pas de sens dans IR.
    Peut-être que dans les complexes on pourrait faire quelque chose... j'ai pas trop cherché.


    PS: Je n'ai pas vu les messages précédents, serais-je faux ???
    Dernière modification par eudea-panjclinne ; 27/05/2017 à 12h06.

  15. #14
    eudea-panjclinne

    Re : Formule à la Ramanujan

    Je me suis trompé, désolé !

  16. #15
    eudea-panjclinne

    Re : Formule à la Ramanujan

    Je ne comprends plus rien, Mediat et Ansset qu'appelez-vous f(n) et Un

  17. #16
    Médiat

    Re : Formule à la Ramanujan

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    Je ne comprends plus rien, Mediat et Ansset qu'appelez-vous f(n) et Un
    Bonjour,

    Ce que j'ai appelé f(n), c'est la formule "n = ..." du message #9 (*), je l'ai baptisé pour expliciter la récurrence dont je voulais parler et dont la partie "hérédité" est triviale.

    (*) Il faudrait l'écrire plus formellement, avec une limite, mais l'abus d'écriture est bénin.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #17
    eudea-panjclinne

    Re : Formule à la Ramanujan

    Mais le membre de droite contient une infinité de radicaux, cela a-t-il un sens ?
    Comment l'écrire plus formellement avec une limite ?
    Dernière modification par eudea-panjclinne ; 27/05/2017 à 12h58.

  19. #18
    Médiat

    Re : Formule à la Ramanujan

    Il faut définir le terme où on ne calcule que termes
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #19
    eudea-panjclinne

    Re : Formule à la Ramanujan

    On considère la suite a définie par récurrence :


    On démontre facilement par récurrence que, pour tout n>1 dans IN :


    On considère maintenant la suite définie pour tout n>2 dans IN:

    cette suite est toujours définie parce que
    par construction de la suite a, la suite v est constante et égale à (démonstration par récurrence).

    Est-cela auquel vous aviez pensé Médiat ?
    Dernière modification par eudea-panjclinne ; 27/05/2017 à 16h29.

  21. #20
    Médiat

    Re : Formule à la Ramanujan

    J'avoue que je n'avais pas fait les calculs mais, oui, c'est bien à quelque chose comme cela que je pensais
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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