Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 24 sur 24

Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)



  1. #1
    mehdi_128

    Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)


    ------

    Bonsoir,

    Y a une logique que j'ai du mal à comprendre :
    On considère une matrice A de M3(R) d'ordre fini. Le but est de démontrer que cette matrice est diagonalisable dans M3(C).

    J'arrive pas à comprendre la logique de la problématique : si la matrice est à coefficients réels pourquoi on veut montrer qu'elle est diagonalisable dans M3(C) ? Les coefficients réels vont se transformer par magie en coefficients complexes ?

    Je vois pas le rapport en fait.

    Merci.

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Bonjour,

    Les réels étant des complexes(*) (certes un peu particulier), il n'y a aucun problème.

    (*) Au pire, il existe un isomorphisme canonique entre les réels et un sous ensemble des complexes
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Les réels étant des complexes(*) (certes un peu particulier), il n'y a aucun problème.

    (*) Au pire, il existe un isomorphisme canonique entre les réels et un sous ensemble des complexes
    Donc quel est l'intérêt de l'exercice si c'est évident ? Le problème comporte une dizaine de questions avant d'arriver à montrer que la matrice A est diagonalisable dans M3(C) en utilisant les puissances de matrice et les suites.

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Il n'y a rien d'évident, sauf que ta matrice est une matrice de M3(C), et que tu vas le prouver. Médiat a parfaitement répondu à ta question initiale, telle qu'elle est écrite. C'est toi qui ne comprenais pas que des réels sont aussi des complexes.

    NB : Tu aurais au moins pu le remercier d'avoir éclairci la situation.
    Dernière modification par gg0 ; 26/05/2017 à 22h32.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Il n'y a rien d'évident, sauf que ta matrice est une matrice de M3(C), et que tu vas le prouver. Médiat a parfaitement répondu à ta question initiale, telle qu'elle est écrite. C'est toi qui ne comprenais pas que des réels sont aussi des complexes.

    NB : Tu aurais au moins pu le remercier d'avoir éclairci la situation.
    J'ai toujours pas compris.

    Ma matrice initiale est à coefficients réels comment elle pourrait ensuite contenir des coefficients complexes ?

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Donc tu ne sais pas ce que sont les complexes !!

    Pourtant, dès le début de l'apprentissage des nombres complexes, on voit que tous les réels sont des complexes. Le réel x est de module |x| et d'argument pi ou -pi suivant son signe.
    Donc ta matrice est à coefficients complexes, que tu le veuilles ou non, elle est dans M3(C).

    La suite est ton exercice, fais-le.

  8. #7
    stefjm

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Pourtant, dès le début de l'apprentissage des nombres complexes, on voit que tous les réels sont des complexes. Le réel x est de module |x| et d'argument pi ou -pi suivant son signe.
    0 ou pi modulo 2k.pi suivant le signe de x.

    @ Medhi : z=a+i.0, a réel, donc z réel
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Heu ... Stefjm,

    ce que j'ai écrit est parfaitement correct, inutile de rajouter des 2k.pi pour donner un argument.

    Cordialement.

  10. #9
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    0 ou pi modulo 2k.pi suivant le signe de x.

    @ Medhi : z=a+i.0, a réel, donc z réel
    Oui donc quel est l'intérêt de l'exercice ? Si c'est juste dire que un réel est forcément un complexe.

  11. #10
    AncMath

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Ton exercice te demande de prouver que est diagonalisable en tant que matrice à coefficient complexe. Il n'est pas d’intérêt vide. Il ne suffit pas de remarquer qu'une matrice à coefficient réel est une matrice à coefficients complexes il faut ensuite démontrer que la matrice en question est diagonalisable.

  12. #11
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    A la fin de l'exercice on arrive à :

    Soit A appartenant à M3(R) démontrer que A est d'ordre fini si et seulement si A est diagonalisable dans M3(C) et qu'il existe appartenant à 2Pi Q tel que :

    ou

    La matrice A est réelle mais il existe une base dans laquelle elle est complexe et diagonale ? C'est ça ?

  13. #12
    AncMath

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Te demander si la matrice est diagonalisable dans c'est se demander s'il existe telle que avec diagonale.

    Se demander si la même matrice est diagonalisable dans c'est se demander s'il existe telle que avec diagonale.

    Donc la matrice est réelle mais et peuvent être complexes.
    Dernière modification par AncMath ; 27/05/2017 à 14h41.

  14. #13
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Ta matrice pourrait n'avoir aucune valeur propre dans R mais être diagonalisable dans C, avec des valeurs propres non réelles.

    "La matrice A est réelle mais il existe une base dans laquelle elle est complexe et diagonale ?" Une base de quoi ??? Si tu finis ta réflexion, tu progresseras.

  15. #14
    stefjm

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Heu ... Stefjm,

    ce que j'ai écrit est parfaitement correct, inutile de rajouter des 2k.pi pour donner un argument.

    Cordialement.
    Je veux bien, mais pour moi, un réel d'argument pi ou -pi (ce qui est écrit en #6) est négatif. J'ai signalé la bizarrerie car mehdi est parfois un peu fâché avec certaines évidences, mais sur ce coup, c'est peut-être moi.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  16. #15
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Je veux bien, mais pour moi, un réel d'argument pi ou -pi (ce qui est écrit en #6) est négatif. J'ai signalé la bizarrerie car mehdi est parfois un peu fâché avec certaines évidences, mais sur ce coup, c'est peut-être moi.
    Ah, je ne comprenais pas, car je n'avais vu que le +2k.pi, je n'avais pas noté que mon 0 était devenu pi ! Désolé, je n'avais pas écrit ce que j'avais en tête.
    Le bon texte est donc :
    Le réel x est de module |x| et d'argument 0 ou pi suivant son signe.

    Cordialement.

  17. #16
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Te demander si la matrice est diagonalisable dans c'est se demander s'il existe telle que avec diagonale.

    Se demander si la même matrice est diagonalisable dans c'est se demander s'il existe telle que avec diagonale.

    Donc la matrice est réelle mais et peuvent être complexes.
    Merci beaucoup c'est très clair

  18. #17
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ta matrice pourrait n'avoir aucune valeur propre dans R mais être diagonalisable dans C, avec des valeurs propres non réelles.

    "La matrice A est réelle mais il existe une base dans laquelle elle est complexe et diagonale ?" Une base de quoi ??? Si tu finis ta réflexion, tu progresseras.
    Bah une base de vecteurs propres.

  19. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Bon,

    tu n'es pas sérieux !! Continue à raconter n'importe quoi, tu finiras par lasser ceux qui essaie de t'aider. Je pense que plus que mal comprenant, tu es surtout impoli : C'est aux autres de comprendre, de faire le travail.

    Ça ne peut pas bien finir pour toi...

  20. #19
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bon,

    tu n'es pas sérieux !! Continue à raconter n'importe quoi, tu finiras par lasser ceux qui essaie de t'aider. Je pense que plus que mal comprenant, tu es surtout impoli : C'est aux autres de comprendre, de faire le travail.

    Ça ne peut pas bien finir pour toi...
    Je pense pas avoir dit n'importe quoi je relis un cours là et ça parle de base de vecteurs propres

  21. #20
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    J'ai une question, j'ai montré que soit B appartenant à Mn(C) si B est d'ordre fini alors ses valeurs propres sont racines de l'unité.

    La question suivante j'ai soit A appartenant à M3(R) d'ordre fini, puis je utiliser la propriété précédente pour la matrice A ?

  22. #21
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Bonjour.

    Comment fonctionne une démonstration ?

  23. #22
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.

    Comment fonctionne une démonstration ?
    Directe, par l'absurde, par contraposée, par analyse synthèse

  24. #23
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Et surtout en utilisant les théorèmes y compris ceux qu'on vient de démontrer.
    Ce qui fait que ta question n'a pas lieu d'être :
    "puis je utiliser la propriété précédente pour la matrice A ?" Si la propriété est fausse, non, évidemment; si elle est vraie, bien sûr, évidemment.

    NB : Tu n'as pas répondu à "comment fonctionne une démonstration ?", mais à "que connais-tu comme méthodes de démonstration ?". Tu as oublié "directe" et "par récurrence".

    Cordialement.

  25. #24
    mehdi_128

    Re : Diagonalisation d'une matrice dans M3(R) et M3(C)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Et surtout en utilisant les théorèmes y compris ceux qu'on vient de démontrer.
    Ce qui fait que ta question n'a pas lieu d'être :
    "puis je utiliser la propriété précédente pour la matrice A ?" Si la propriété est fausse, non, évidemment; si elle est vraie, bien sûr, évidemment.

    NB : Tu n'as pas répondu à "comment fonctionne une démonstration ?", mais à "que connais-tu comme méthodes de démonstration ?". Tu as oublié "directe" et "par récurrence".

    Cordialement.
    M3(R) est inclus dans M3(C) donc on peut utiliser sur M3(R) les propriétés démontrées précédemment pour toute matrice de M3(C)

Discussions similaires

  1. Diagonalisation d'une matrice utilisant une matrice unitaire
    Par medaminman dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 27/02/2015, 02h37
  2. Diagonalisation matrice
    Par ADPB dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 19/01/2014, 15h25
  3. Diagonalisation/ expression d'une matrice dans une base de vecteurs propres
    Par bendesarts dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 01/12/2010, 10h46
  4. diagonalisation de matrice
    Par invite43117115 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 20/05/2007, 20h02
  5. diagonalisation de matrice
    Par tompouce dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 15/11/2006, 22h27