hypothèse de Riemann indécidable ?

[eirtemoeg]

Petite question : c'est une conjoncture ou ca a été déjà démontré ?

Ca n'est pas une conjecture ; c'est une méthode de détermination de la suite des nombres premiers ; elle permet de déterminer, dans une certaine mesure, les nombres premiers qui suivent un nombre impair quelconque dans IN. La conjecture qui semble s'imposer c'est qu'entre un nombre : p , et le nombre : p plus 3 plus racine carrée de p, il a toujours au moins un nombre premier. Ceci est plus puissant que la conjecture de Bertrand.
L'auteur de ces découvertes est l'auteur de ces lignes.

[invité576543]

Je ne suis pas d'accord, cette notion a un énorme intérêt, mais pas dans les théories, elle en a dans les modèles

Je ne parlais que de système formel. Sorti des systèmes formel, je pense qu'on parle dans le vide, mais ce n'est peut-être qu'une manifestation de mes limitations.

Peux-tu préciser ce que tu entends par "théorie" et "modèle" et la relation exacte de ces deux termes avec "système formel"? Ou pointer sur un poste qui clarifie?

Cordialement,

[Sylvestre]

Peux-tu préciser ce que tu entends par "théorie" et "modèle" et la relation exacte de ces deux termes avec "système formel"? Ou pointer sur un poste qui clarifie?

Je vais essayer de clarifier, mais pour être vraiment précis, il faut lire un cours de théorie des modèles. Je n'ai pas de lien à ce sujet en ce moment,mais je vais essayer de chercher un peu.

Bon, une théorie est formé d'un ensemble dénombrable de variables, de symboles et d'un nombre fini (voire dénombrable d'axiomes) et de règles de constructions et d'inférences.

Dans une théorie, on a la notion de terme et de proposition. Une variable est un terme par exemple.
Pour la théorie des entiers de Peano, les variables sont {x1,x2,...}, et il y a les symboles {0,s,<,=,*,+,(,)}.
Un exemple de terme est 0 ou ss0 ou sss0 ou (ss0+s0). Mais 0s ou (s( n'en sont pas. Il doit y avoir un algorithme permettant de dire si une expression est un terme ou non.
Le "s" représente la fonction successeur.
Une proposition est construite à partir des termes. Il doit y avoir des règles de constructions des propositions. Les règles d'inférences permettent d'aligner des propositions qui s'enchaînent pour pouvoir faire des démonstration.

Un modèle est un ensemble, plus une fonction de traduction des propositions et des termes de la théorie dans l'ensemble du modèle.

Par exemple pour IN, la traduction du 0 de la théorie est le 0 de IN.
La traduction de ss0 est 2,...
La traduction doit être aussi capable de traduire des propositions.

Dans un modèle chaque proposition est soit vraie soit fausse, grâce au tiers exclus.
Par exemple, 2<3 est vraie. Sa traduction dans la théorie est ss0<sss0 qui est prouvable par les axiomes. Cela veut dire que dans tout modèle des entiers, on a cette proposition. Mais lorsque l'on a une proposition indécidable, comme par exemple, "toutes les suites d'entiers de Goodstein sont finies", cela n'est pas le cas. Cette proposition n'est pas prouvable dans la théorie, néanmoins, sa traduction dans IN est vraie (cela se prouve en utilisant la théorie plus puissante qu'est la théorie des ensembles). Le fait qu'elle soit indécidable veut dire (par le théorème de complétude) qu'il existe un modèle des entiers tel qu'elle est fausse. Evidemment ce modèle est un modèle non standard des entiers.

Voilà, j'espère avoir éclairci un peu les choses.

[Sylvestre]

Petite précision : "système formel" et "théorie", sont des mots désignant la même notions. Je peux me tromper, mais il me semble que c'est le cas.

[jreeman]

il existe un modèle des entiers tel qu'elle est fausse

je ne vois pas trop comment construire un modèle d'entiers différent de IN, tout en gardant donc {0,s,<,=,*,+,(,)}.

[matthias]

je ne vois pas trop comment construire un modèle d'entiers différent de IN, tout en gardant donc {0,s,<,=,*,+,(,)}.

Tu peux regarder du côté de l'analyse non standard

[matthias]

Pour Riemann, l'existence d'un contre-exemple (un zéro de zeta qui ne soit pas sur l'axe 1/2), n'implique pas qu'on puisse l'écrire dans la théorie des ensembles. En effet, comme cette théorie ne contient qu'un nombre dénombrable de termes, elles ne peut décrire qu'un nombre dénombrable de nombres complexes et donc il existe des complexes qui ne sont pas descriptible dans la théorie des ensemble. Donc, il se peut très bien que la conjecture de Riemann soit fausse et indécidable.

Ah oui, je n'avais pas pensé à ça. Mais en admettant qu'il existe un zéro en dehors de l'axe 1/2, il pourrait aussi exister des moyens de le prouver sans décrire ce complexe (montrer qu'il existe nécessairement un zéro dans une région donnée du plan par exemple).
Mais effectivement la démonstration initiale est au mieux icomplète.

[invité576543]

Petite précision : "système formel" et "théorie", sont des mots désignant la même notions. Je peux me tromper, mais il me semble que c'est le cas.

Ta description d'une théorie est ce que j'ai appris sous le nom de système formel.

La notion de modèle reste obscure pour moi. Je la vois comme une sorte de classe d'équivalence de systèmes formels.

Mais ce qui m'échappe alors c'est ce qui empêche une proposition d'un modèle d'être démontrable dans une théorie, et sa négation démontrable dans une autre.

Cordialement,

[Sylvestre]

Mais ce qui m'échappe alors c'est ce qui empêche une proposition d'un modèle d'être démontrable dans une théorie, et sa négation démontrable dans une autre.

Rien ne l'empêche. Je ne comprends pas ta question.
Peut-être que ce qui te manque est le fait que la théorie et le modèle doivent être relié par la fonction de traduction dont j'ai parlé avant. C'est ce qui fait que l'on ne peut pas changer de théorie n'importe quand et dire que le modèle qu'on a d'une théorie un aussi un modèle de l'autre théorie.

[matthias]

La notion de modèle reste obscure pour moi. Je la vois comme une sorte de classe d'équivalence de systèmes formels.

L'exemple classique (qui me gêne un peu)
Si on prend les 4 premiers axiomes d'Euclide, on peut calquer plusieurs modèles sur ce système formel :
- plan euclidien
- modèle sphérique où les droites sont les grands cercles inscrit sur une sphère
- ...
Ce qui permet de montrer que l'axiome des parallèles n'est pas décidable à partir des 4 premiers.

Ce que je trouve bizarre néanmoins avec cette vision des modèles est qu'ils semblent eux aussi basés sur une théorie.

La notion de vraie n'a d'intérêt que dans le modèle, mais pas dans les théories, je suis d'accord

Et pourquoi pas ? On pourrait très bien assigner une valeur de vérité à toute proposition (de manière cohérente, vrai pour les propositions démontrables, faux pour les réfutables, etc) et considérer que certaines valeurs nous sont inaccessibles (les indécidables) bien qu'elles doivent aussi être cohérentes entre elles. Ca peut paraître totalement artificiel et inutile, mais ça permet d'utiliser le tiers-exclu, les démonstrations par l'absurde etc. La valeur des propositions indécidables n'aurait aucune importance en soi, ce serait juste un artifice qui n'apporte aucune incohérence.

Ou alors on pourrait justement appeler modèle toute table de vérité cohérente avec la théorie ?

Je ne doute pas que Sylvestre mettra un peu d'ordre dans tout ça, c'est un peu confus ...

[invité576543]

Rien ne l'empêche. Je ne comprends pas ta question.

Comment est alors attribuée la valeur vrai/faux ? Quelle relation entre vrai/faux et démontrable/négation démontrable dans une théorie associée?

Peut-être que ce qui te manque est le fait que la théorie et le modèle doivent être relié par la fonction de traduction dont j'ai parlé avant. C'est ce qui fait que l'on ne peut pas changer de théorie n'importe quand et dire que le modèle qu'on a d'une théorie un aussi un modèle de l'autre théorie.

Je vois bien la notion de traduction, mais l'information manquante est si cette traduction peut être injective ou bijective. (Surjective stricte serait étonnant, mais ?)

Cordialement,

[eirtemoeg]

Avec les quatre premiers "Postulats" d'Euclide on obtient ce que certains appellent la "géométrie absolue" (voir Fundations of geometry de Borzuk et Smielev) le distingo entre euclidien et non euclidien n'intervient qu'avec l'hypothèse relative au parallélisme c'est à dire le cinquième postulat ; la différence entre les modèles suit ce processus.

[invité576543]

L'exemple classique (qui me gêne un peu)
Si on prend les 4 premiers axiomes d'Euclide, on peut calquer plusieurs modèles sur ce système formel :
- plan euclidien
- modèle sphérique où les droites sont les grands cercles inscrit sur une sphère
- ...
Ce qui permet de montrer que l'axiome des parallèles n'est pas décidable à partir des 4 premiers.

Ca c'est exactement la notion de "sens", de "sémantique" en math que j'essayais sans réussite à expliquer à actae sur un autre fil...

Pour moi, un système formel n'a pas de signification en soi. Le système basé sur les 4 premiers axiomes d'Euclide est formellement équivalent au sous-système formel correspondant du système formel de la géométrie du plan euclidien, ibidem pour la sphère S2, c'est tout.

Je ne vois ici qu'une relation structurelle entre systèmes formels... Qu'on "voit" les sous-systèmes formels comme différents, c'est faire de la physique, pas des maths, c'est-à-dire les plaquer sur ce qu'on perçoit comme réalité.

Je reste sur ma faim...

Cordialement,

[Sylvestre]

Ce que je trouve bizarre néanmoins avec cette vision des modèles est qu'ils semblent eux aussi basés sur une théorie.

J'avais peur que quelqu'un voie cela, car j'ai déjà eu plusieurs discussion enflammées avec une collègue à ce sujet et cela a duré très longtemps avant que l'on comprenne un peu le problème. Il faudrait que l'on ouvre un autre fil sur ce sujet, car je crois que c'est vraiment une question importante qui touche aux fondements. En fait, je crois qu'il faut qu'en maths, on arrête de se poser des questions à partir d'un moment, car on ne peut pas tout prouver (en gros, au début, il y a toujours des présupposés). Ce n'est pas de la philo, quoi...

Ca peut paraître totalement artificiel et inutile, mais ça permet d'utiliser le tiers-exclu,

Quelle est la valeur de vérité de la proposition si A peut-être ni vraie, ni faux ?

J'ai l'impression que ce que tu fais reviens à remplacer le mot "prouvable" par "vrai".

[Sylvestre]

Ou alors on pourrait justement appeler modèle toute table de vérité cohérente avec la théorie ?

Oui, dans ce cas, prouver que la table de vérité est cohérente consisterait à construire un modèle de la théorie respectant cette table.