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Topologie Algébrique

  1. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    134

    Topologie Algébrique

    Bonjour,

    Je regrouperai dans ce fil toutes mes questions concernant la topologie algébrique ( afin de ne pas en ouvrir un à chaque fois) et dont ma référence est https://www.math.u-psud.fr/~paulin/n...rs_topoalg.pdf

    P19, on nous demande de démontrer que


    signifie isomorphisme de groupe. Et une famille d' espaces topologiques pointés. J' ai procédé ainsi:
    On onsidère

    qui est sont des applications continues pour les topologies usuelles à l' arrivée et au départ. Puis on considère

    est l' espace des lacets de de base
    Alors cette application est bien définie ( composition d' applications continues) et elle passe au quotient, en effet:
    une homotopie entre et
    On peut poser:

    alors est une famille d' homotopie entre et
    donc
    On a donc une application

    Pour montrer que c' est un morphisme, j' ai juste eu à remarquer que est la concaténation des lacets A et B.
    Pour montrer que ce morphisme est surjectif :
    un représentant de
    J' ai alors posé:

    et alors

    Pour l' injectivité:
    soit
    donc

    en effet,
    est le lacet constant de base , appelons une telle homotopie,
    alors, on pose
    est une homotopie entre et
    On a donc un morphisme injectif et surjectif entre et , ils sont donc isomorphes.
    Voila ce que j' ai fait, ça serait super qu' on me dise si c' est faux ou pas rigoureux à certain(s) endroit(s) afin que je débute sur de bonnes bases !
    Ps: ceci est mon premier message en Latex, il se peut donc qu' il y ait des fautes de frappe !

    Bonne journée

    -----

     


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  2. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Topologie Algébrique

    J'y vois rien à redire.
     

  3. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    134

    Re : Topologie Algébrique

    super! sans doute à bientôt pour une nouvelle question !
     

  4. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    134

    Re : Topologie Algébrique

    Bonjour,

    Toujours sur le même poly, corollaire 2.13, P 22-23. on nous parle de recollement d' un espace topologique X avec un esp . top. Y suivant une application continue f. Sur wikipedia, il n' y a qu' une définition partielle de ce qu' est un tel recollement https://fr.wikipedia.org/wiki/Recollement_(topologie) il manque la défintion d' une somme topologique. Quelqu'un la connaîtrait- il ?

    Merci et bonne journée !
     

  5. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Topologie Algébrique

    C'est le coproduit dans la catégorie des espaces topologiques. Tu peux vérifier que c'est la réunion disjointe ensembliste muni de la topologie la plus fine rendant continue les inclusions canoniques.
     


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  6. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    134

    Re : Topologie Algébrique

    Je me contenterai de la seconde partie de la réponse pour le moment.

    Merci !
     

  7. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    134

    Re : Topologie Algébrique

    Bonsoir,

    J' ai dû reprendre un corollaire que je croyais avoir compris, et en fait une partie m' échappe:
    P19. corollaire 2.4:

    Si est connexe par arc et , alors ( pour ça pas de soucis)
    Si de plus est abélien, alors cet isomorphisme est canonique. L' isomorphisme en question est le suivant: soit un chemin de à , .

    Je croyais que par canonique, on entendait que était en quelque sorte l' identité, parce qu' on pouvait commuter et mais ça n' a pas de sens puisqu' on ne peut pas concaténer et .
    Si quelqu' un pouvait m' aider à comprendre en quoi cet isomorphisme est canonique, ça m' avancerait pas mal !

    Merci et bonne soirée !
     

  8. fireblue35

    Date d'inscription
    avril 2016
    Messages
    298

    Re : Topologie Algébrique

    Je trouve cela vraiment magnifique même si je comprends pas grand chose, les démonstrations fluides et belles c'est vraiment le pied.
     

  9. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 271

    Re : Topologie Algébrique

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Bonsoir,

    J' ai dû reprendre un corollaire que je croyais avoir compris, et en fait une partie m' échappe:
    P19. corollaire 2.4:

    Si est connexe par arc et , alors ( pour ça pas de soucis)
    Si de plus est abélien, alors cet isomorphisme est canonique. L' isomorphisme en question est le suivant: soit un chemin de à , .

    Je croyais que par canonique, on entendait que était en quelque sorte l' identité, parce qu' on pouvait commuter et mais ça n' a pas de sens puisqu' on ne peut pas concaténer et .
    !
    ...d'après le document, de à , .
     

  10. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 271

    Re : Topologie Algébrique

    simple remarque: dans la démonstration, si on remplace par , on trouve
    Dernière modification par azizovsky ; 25/06/2017 à 02h01.
     

  11. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 271

    Re : Topologie Algébrique

    Citation Envoyé par azizovsky Voir le message
    simple remarque: dans la démonstration, si on remplace par , on trouve
    faux ,il est question de classe du chemins constants, je vais potasser le document...
    Dernière modification par azizovsky ; 25/06/2017 à 03h26.
     

  12. Seirios

    Date d'inscription
    mai 2005
    Localisation
    Dans le plan complexe
    Âge
    26
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    10 439

    Re : Topologie Algébrique

    Prenons deux chemins allant de vers . Pour toute boucle basée en , on a . Mais, par commutativité de , on a . (Ici, on a utilisé le fait que était une boucle basée en .) Finalement, . Autrement dit, .

    C'est en ce sens que l'isomorphisme est canonique : il ne dépend pas du chemin choisi.
    If your method does not solve the problem, change the problem.
     

  13. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    134

    Re : Topologie Algébrique

    Citation Envoyé par azizovsky Voir le message
    simple remarque: dans la démonstration, si on remplace par , on trouve
    Je ne vois ce que ça apporte ? Puisqu' on montre que phi est un morphisme, c' est évident non ?
     

  14. slivoc

    Date d'inscription
    février 2016
    Localisation
    Pays de la Loire
    Messages
    134

    Re : Topologie Algébrique

    Bonjour,

    Merci Seirios !

    Juste, est une boucle basée en . En fait tu sembles inverser et dans tout ton message ( mais c' est sans doute des fautes de frappe !). Mais j' ai compris l' idée, merci !

    Bonne journée
     

  15. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 271

    Re : Topologie Algébrique

    Citation Envoyé par slivoc Voir le message
    Je ne vois ce que ça apporte ? Puisqu' on montre que phi est un morphisme, c' est évident non ?
    je n'ai aucune idée, j'ai concaténé les formules (syntaxe) sans essayer de comprendre la charge (sémantique )....
     


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