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Décimales d'un rationnel positif non décimal

  1. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Paris
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    Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Bonjour,

    Soit x un nombre rationnel positif non décimal on pose avec a et b entiers premiers entre eux.

    On définit par récurrence 2 suites d'entiers naturels (dn) et (rn) tel que :
    d0 et r0 sont le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
    d(n+1) et r(n+1) sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 10r(n) par b.

    On a : et

    rn est le reste de la division euclidienne de par b.

    On rappelle la propriété : x=a/b est décimal si et seulement si il existe alpha et beta entiers naturels tel que :

    1/ Démontrer que parmi les nombres au moins 2 d'entre eux sont congrus modulo b.

    Ce qui me bloque c'est que je sais pas à quoi correspond mon 10^k , x ou 10rn ?

    Merci.

    -----

     


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  2. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Là encore, tu comprendras mieux si tu prends un exemple pour x, pat exemple le classique 22/7.

    Car ta question est bizarre ! il n'y a pas vraiment de 10^k, k n'apparaît que comme indice dans une somme, donc lettre sans signification ailleurs ! Et dans la somme, il n'y a qu'à appliquer la règle des sommes.
     

  3. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Là encore, tu comprendras mieux si tu prends un exemple pour x, pat exemple le classique 22/7.

    Car ta question est bizarre ! il n'y a pas vraiment de 10^k, k n'apparaît que comme indice dans une somme, donc lettre sans signification ailleurs ! Et dans la somme, il n'y a qu'à appliquer la règle des sommes.
    Mes nombres sont 10^0 , 10, ..., 10^(b-1) mais ces nombres correspondent à x, a ou b ? Pour pouvoir utiliser les propriétés sur le reste :

    donc
     

  4. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    21 120

    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Ben ...généralement ni à x, ni à a, ni à b.

    Mais pourquoi poser cette question, tu n'as pas lu l'énoncé que tu as présenté au message #1 ? Il est très clair, il suffit de le lire et de le comprendre. C'est ton travail, fais-le ! Tu ne vas pas passer ta vie d'étudiant à te faire faire par les autres ce que tu dois faire toi-même.

    Je t'ai proposé une méthode simple pour bien comprendre ton énoncé, mets-toi au travail !
     

  5. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ben ...généralement ni à x, ni à a, ni à b.

    Mais pourquoi poser cette question, tu n'as pas lu l'énoncé que tu as présenté au message #1 ? Il est très clair, il suffit de le lire et de le comprendre. C'est ton travail, fais-le ! Tu ne vas pas passer ta vie d'étudiant à te faire faire par les autres ce que tu dois faire toi-même.

    Je t'ai proposé une méthode simple pour bien comprendre ton énoncé, mets-toi au travail !
    Non j'aimerais bien y arriver seul, je veux juste des indications pour avancer.

    Je considère les restes de la division euclidienne des 10^k par b pour 0 =< k < b :

    Pour k = 0 : et

    Pour k=1 comment faire ?
     


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  6. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Heu ... tu ne fais pas le problème dont tu as donné l'énoncé dans ton message #1 ?
     

  7. mehdi_128

    Date d'inscription
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    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Heu ... tu ne fais pas le problème dont tu as donné l'énoncé dans ton message #1 ?
    Bah si ils parlent de congruence modulo b donc pour ça que je fais la division de 10^k (k dans [0,b-1]) par b et j'étudie le reste
    Dernière modification par mehdi_128 ; 26/06/2017 à 21h30.
     

  8. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    En combinant j'ai trouvé l'équation suivante :



    donc r1 est le reste de la division euclidienne de 10 par b.

    De même : donc r2 est le reste de la division euclidienne de 100 par b.

    Donc les b restes de la division des 10^k avec k entre 0 et b-1 sont dans [1,b-1] donc au moins 2 des restes sont égaux car card([1,b-1])=b-1

    Donc au moins 2 nombres des 10^k sont congrus modulo b
     

  9. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Bon,

    puisque tu ne suis aucun conseil, même pas celui de lire l'énoncé inutile de continuer ...
     

  10. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Décimales d'un rationnel positif non décimal

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bon,

    puisque tu ne suis aucun conseil, même pas celui de lire l'énoncé inutile de continuer ...
    J'ai répondu à l'exercice je comprends pas votre remarque.
     


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