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Comment montrer que cette fonction est injective?

  1. Kakihara

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    18
    Messages
    10

    Comment montrer que cette fonction est injective?

    Bonjour à tous/toutes, cette communauté me semble sympa et je viens vous poser une question simple.

    Je cherche à étudier la bijectivité de la fonction définie par .

    Je sais qu'il est aisé d'exhiber l'inverse de cette fonction en résolvant l'équation d'inconnue , pour et de vérifier que c'est bien un inverse i.e.
    .

    De même, on peut simplement vérifier que est strictement monotone sur .

    Mais ce qui m'intéresse, c'est examiner l'injectivité de cette fonction :

    Soit .

    .

    Et ici, aussi étrange que cela puisse paraître, je n'arrive pas à conclure. Je sais, c'est idiot...

    Une âme charitable peut-elle m'aider? Sincères salutations et remerciements.

    -----

     


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  2. Kakihara

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    18
    Messages
    10

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Tiens, une petite erreur de Latex : \iff représente...
     

  3. pm42

    Date d'inscription
    juillet 2015
    Messages
    3 871

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Je ne comprends pas : si elle est strictement monotone, tu as le théorème de la bijection qui te permet de conclure immédiatement non ?
     

  4. Kakihara

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    18
    Messages
    10

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    En effet, mais je souhaiterais simplement étudier l'injectivité de cette fonction indépendamment du reste.
     

  5. duduch74

    Date d'inscription
    juin 2017
    Messages
    13

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Tu as essayé la définition c'est à dire montrer f(x1) = f(x2) => x1 = x2 ou la contraposée x1 =/= x2 => f(x1) =/= f(x2) ?
     


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  6. Kakihara

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    18
    Messages
    10

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    J'ai essayé la définition, comme écris dans le post original. Je tente la contraposée.
     

  7. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 951

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Bonjour

    Citation Envoyé par Kakihara Voir le message
    .

    et vous pouvez conclure
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  8. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 581

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    inutile , déjà dit..
    Dernière modification par ansset ; 03/07/2017 à 22h57.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  9. Kakihara

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    18
    Messages
    10

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Non non, il semble que cette réponse correspond bien à mes attentes.

    D'ailleurs, j'avais aboutit à une conclusion similaire :

    et et en divisant respectivement par et .

    Dieu sait pourquoi je l'ai effacé de mon brouillon, certainement la fatigue.

    Sincères salutations.
     

  10. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 951

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Kakihara Voir le message
    et et en divisant respectivement par et .

    Dieu sait pourquoi je l'ai effacé de mon brouillon, certainement la fatigue.
    Peut-être parce que c'est faux !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  11. Kakihara

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    18
    Messages
    10

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Wait mais c'est ça!

    Comment se fait-il que l'on ai et en même temps, par exemple et ...
     

  12. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 581

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Citation Envoyé par Kakihara Voir le message
    Wait mais c'est ça!

    Comment se fait-il que l'on ai et en même temps, par exemple et ...
    de fait , on a :
    si alors
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  13. Kakihara

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    18
    Messages
    10

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Ah oui, on peut très bien avoir par exemple 2*5 - 2*6 = 2*150 - 2*180 donc c'est totalement faux. Mea culpa.
     

  14. Kakihara

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    18
    Messages
    10

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    de fait , on a :
    si alors
    C'est comme si on raisonnait par l'absurde en fait :

    Soit tel que .

    , or, ce résultat n'est valable que pour ou sur .

    On aboutit donc à une contradiction, ce qui permet de conclure donc est bien injective sur .
     

  15. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 951

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Comme cela, ça marche.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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