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completé en norme d un sous espace vectoriel

  1. Murmure-du-vent

    Date d'inscription
    mai 2014
    Messages
    962

    completé en norme d un sous espace vectoriel

    bonjour

    j ai deux espaces de Hilbert H1 et H2 de dimensions non finies.
    je considere l ensemble V des applications lineaires du premier dans le second dont l image est de
    dimension finie. cet ensemble est un espace vectoriel. je le munis ainsi d un produit scalaire
    <A,B> = Tr (A*B) on a une norme associee qui est inferieure a l infini sur V.
    je considere le complete V' de V pour cette norme
    certains elements de V' sont des applications de rang infini. leur norme est elle finie?

    -----

    La lune est plus utile que le soleil. Elle luit la nuit. Le soleil le jour!NasrEddinHodja
     


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  2. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    4 972

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    A priori, si tu utilises la technique de complétion usuelle, les éléments de V' ne sont pas des applications. V' est vu comme espace quotient de l'ensemble des suites de Cauchy dans V par une certaine relation d'équivalence. On peut le munir d'une structure d'espace de Hilbert mais ça ne dit pas que ses éléments sont des applications de H1 dans H2. Donc je suppose que tu utilises une autre construction, mais laquelle?
     

  3. Murmure-du-vent

    Date d'inscription
    mai 2014
    Messages
    962

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    mais V est un ensemble d applications
    La lune est plus utile que le soleil. Elle luit la nuit. Le soleil le jour!NasrEddinHodja
     

  4. Murmure-du-vent

    Date d'inscription
    mai 2014
    Messages
    962

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    Quelques precisions.
    j essaie de comprendre la definition du produit tensoriel de 2 espaces de Hilbert que donne Wald dans un
    livre en anglais.
    d abord le titre l espace vectoriel qui contient les sev est L(H1,H2) des app lineaires
    il n est pas muni a la base d un produit scalaire.
    V en est un sous espace vectoriel qu on munit d un produit scalaire. dans sa definition j ai mis un *
    mais dans le livre c est le signe \dagger des adjoints.
    V' est son complété.
    je me demande si le produit scalaire est bien defini sur V' (pas infini)
    Wald ecrit ensuite que par definition c est le produit tensoriel de H1 et H2
    La lune est plus utile que le soleil. Elle luit la nuit. Le soleil le jour!NasrEddinHodja
     

  5. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    4 972

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    V est dense dans son complété (ça fait partie de la définition de la complétion) et donc on peut étendre les opérations (addition et multiplication externe) et le produit scalaire par continuité.
     


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  6. Murmure-du-vent

    Date d'inscription
    mai 2014
    Messages
    962

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    comment prouver la finitude du produit par passage a la limite?
    La lune est plus utile que le soleil. Elle luit la nuit. Le soleil le jour!NasrEddinHodja
     

  7. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    4 972

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    le produit scalaire est forcément fini, je ne comprends pas ta question.
     

  8. Murmure-du-vent

    Date d'inscription
    mai 2014
    Messages
    962

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    j ai trouvé ceci qui est en rapport mais on y parle d operateurs bornés.
    je ne sais pas si les A de Wald le sont ils sont "linear" et "with finite range"
    La lune est plus utile que le soleil. Elle luit la nuit. Le soleil le jour!NasrEddinHodja
     

  9. Murmure-du-vent

    Date d'inscription
    mai 2014
    Messages
    962

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    le produit scalaire est forcément fini, je ne comprends pas ta question.
    on a defini un produit scalaire donc une norme sur V qu est ce qui prouve que tout vecteur de V' est de norme finie
    conmme ceux de V?
    La lune est plus utile que le soleil. Elle luit la nuit. Le soleil le jour!NasrEddinHodja
     

  10. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    4 972

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    il n'y a pas de vecteurs de norme infinie dans un espace vectoriel normé. Le fait que la norme de V se prolonge à V' vient du fait que V est dense dans V' et que l'application norme est uniformément continue.
    Dernière modification par minushabens ; 06/07/2017 à 15h02.
     

  11. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 157

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    Bah, si tu as un élément v' de V', et une suite v_n d'éléments de V qui tend vers v, ta suite des normes n'est elle pas de Cauchy?

    Je le fais proprement :

    Soit epsilon > 0, il existe m>n>0 tel que
    || v_n - v_m || < epsilon

    Mais

    || v_m || < || v_m + v_n - v_m || + || v_m - v_n || = || v_n || + ||v_m - v_n ||

    Et, de la même façon,

    || v_n || < || v_n + v_m - v_n || + || v_n - v_m || = || v_m || + ||v_n - v_m ||

    On en déduit alors

    | || v_n || - ||v_m|| | < ||v_n - v_m || < epsilon

    Donc la suite des normes des v_n est de Cauchy donc converge vers un réel a. On pose alors || v || = a (et on montre que ce a ne dépend pas des représentants choisis)


    Y a t'il quelque chose q
     

  12. Murmure-du-vent

    Date d'inscription
    mai 2014
    Messages
    962

    Re : completé en norme d un sous espace vectoriel

    merci

    ca vient de faire tilt je n avais plus en tete que le completé est une classe d equivalence de suites de
    Cauchy. ca vous paraissait sans doute évident. mais sans ca vos demos ne me parlaient pas.
    La lune est plus utile que le soleil. Elle luit la nuit. Le soleil le jour!NasrEddinHodja
     


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