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Demonstration avec des sommes

  1. Lucieeeee

    Date d'inscription
    août 2017
    Messages
    13

    Demonstration avec des sommes

    Bonjour !
    Je vous remercie d'abord de prendre le temps de lire. Je bloque sur deux questions de mon DM.
    Je n'ai pas réussi à faire le langage latex, je ne suis pas sur un ordinateur.. J'espère que vous arriverez à lire.

    Intitulé :
    x est un réel
    x dans ]-1 ; 1[
    n et r deux entiers naturels.
    On pose : s(n,r) = somme pour k allant de 0 à n de [ (r parmi (r+k) ) x^k ]

    Question : Il faut démontrer que pour tout entier naturel n,
    (1-x) s(n,r) = s(n, r-1 ) - (r parmi (r+n)) x^(n+1)

    -> Il n'est pas précisé si il faut faire une récurrence, mais je ne pense pas (cela ne donne rien).
    J'ai essayé de partir du membre de gauche, puis de celui de droite sans succès. J'ai pensé à la formule du Pion, et au binôme de Newton, mais je ne parviens pas à avoir le résultat demandé.

    Question : à l'aide d'une récurrence, démontrer pour tout entier naturel r la valeur de limite quand n tend vers +infini de s(n,r)
    -> J'ai réussi l'initialisation pour 0, je bloque sur l'hérédité.

    Merci pour votre aide, Lucie

    -----

     


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  2. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Re : Demonstration avec des sommes

    Bonjour.

    A priori, il s'agit simplement de manipulations de sommes.
    (1-x) s(n,r) = s(n,r)-x s(n,r)
    Puis on arrange le polynôme en x et on voit.
    par exemple pour n=2 et r=3,
    S(2,3)=(3 parmi 3)x^0+(3 parmi 4)x+ (3 parmi 5) x² =1+4x+10 x²
    (1-x)S(2,3) = 1 + 4x + 10 x² - x - 4 x² - 10 x^3 = 1 +3 x + 6 x² - 10 x^3
    On remarque que les coefficients 1, 3 et 6 sont des coefficients de la ligne 3 du triangle de Pascal. Comme ils ont été obtenus par soustraction de coefficients consécutifs de la ligne 4, c'est normal.

    Je te laisse généraliser. Revois de près les propriétés des coefficients binomiaux, et l'écriture en somme. Si tu bloques à un moment, présente ici (au besoin photo d'un texte à la main bien écrit) ce que tu as fait.

    Cordialement.
     

  3. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    110

    Re : Demonstration avec des sommes

    Bonjour
    Comme alternative ou en complément de la réponse de @gg0
    il est possible de remarquer que dans l'égalité à démontrer ce sont des polynômes (en x) de degré n+1 qui interviennent.
    Donc il suffit de vérifier que les dérivées successives d'ordre j=0,1,2... en x=0 sont égales.
    Dériver j fois (1-x) S(n,r) est simple (bien entendu utiliser la règle de Leibniz)

    D'autre part utîliser le latex à l'avenir sera plus convivial. Ce n'est pas si compliqué
    Comme ici si j'écris \sum_{k=0}^n C_n^ k

    cela donne


    \ sum pour somme _ pour les indices (à mettre entre accolades en général)
    ^ pour exposant (à mettre entre accolades en général)
     

  4. Lucieeeee

    Date d'inscription
    août 2017
    Messages
    13

    Re : Demonstration avec des sommes

    Je vous remercie ! Je vais essayer avec ces renseignements. Et merci aussi pour l'explication du latex !
    Lucie.
     

  5. Lucieeeee

    Date d'inscription
    août 2017
    Messages
    13

    Re : Demonstration avec des sommes

    J'ai réussi en utilisant la formule de Pascal !
    Pour la limite de s(n,r) quand n tend vers +infini , pour tout entier naturel r :
    lim de s(n,0) = 1/(1-x)
    lim de s(n,1) = 1/((1-x)^2)

    Je conjecture donc :
    lim s(n,r) = 1/((1-x)^(r+1))

    J'ai essayé de montrer que lim (1-x)s(n,r) = 1/((1-x)^r) mais je bloque sur l'hérédité.
    Auriez vous une indication ?
    Cordialement, Lucie.
     


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  6. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    110

    Re : Demonstration avec des sommes

    Rebonjour
    En utilisant le relation demandée
    le dernier terme tend vers 0, en effet
    C_{n+r}^r tend vers 0 quand n tend vers l'infini, idem pour x^(n+1).
    La relation de récurrence est alors immédiate.
     

  7. Lucieeeee

    Date d'inscription
    août 2017
    Messages
    13

    Re : Demonstration avec des sommes

    Malgrès ces explications, je n'y arrive toujours pas...
     

  8. Lucieeeee

    Date d'inscription
    août 2017
    Messages
    13

    Re : Demonstration avec des sommes

    J'ai compris mon erreur ! Merci pour les explications.
    Lucie
     

  9. Lucieeeee

    Date d'inscription
    août 2017
    Messages
    13

    Re : Demonstration avec des sommes

    Mais, Ce n'est pas plutôt (r parmi (r+n) x^(n+1) le dernier terme ?
    Donc r parmi r+n tend vers +infini et x^(n+1) vers 0, donc il y a formé indéterminée ?
     

  10. JB2017

    Date d'inscription
    février 2017
    Messages
    110

    Re : Demonstration avec des sommes

    Bonjour
    Oui bien sûr:


    et

    En les multipliant et regardant ce qu'il y a ds l'exponentielle :
    cela tend vers .....le reste est facile....
     

  11. Lucieeeee

    Date d'inscription
    août 2017
    Messages
    13

    Re : Demonstration avec des sommes

    Tout est clair maintenant ! Merci !
     


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