Exercice sur les polynômes (ordre de multiplicité des racines)
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Exercice sur les polynômes (ordre de multiplicité des racines)



  1. #1
    cftvgy

    Exercice sur les polynômes (ordre de multiplicité des racines)


    ------

    Bonjour !
    Je suis actuellement en L2 mathématiques et je voudrais avoir l'avis de gens un peu plus, hm, calés que moi sur ma démarche de résolution d'un exercice, je ne sais pas si ma méthode fonctionne bien que j'aie trouvé le bon résultat.

    L'exercice est le suivant : "Montrer que pour tout n appartenant à N*, le polynôme P(x) = nXn+2 -(n+2)Xn+1 + (n+2)X - n
    est divisible par (X-1)3 ."

    Ne voulant pas développer et tenter de poser une division euclidienne, j'ai utilisé le fait que si (X-1)3 | P(x) , alors 1 est racine d'au moins ordre 3 de P(x), et j'ai vérifié que l'on avait P(1)=P'(1)=P''(1)=0 mais que P'''(1) était différent de zéro pour tout n appartenant à N* (en effet, on trouve n4 + 3n3 + 2n (sauf erreur de calcul de ma part)) et que donc 1 était racine d'ordre 3 de P(x) d'où (X-1)3 | P(X).

    Ma méthode est-elle cohérente où il en existe-t-il une autre plus simple/rapide/efficace?

    -----
    Dernière modification par cftvgy ; 03/10/2017 à 13h31.

  2. #2
    Médiat

    Re : Exercice sur les polynômes (ordre de multiplicité des racines)

    Bonjour,

    Citation Envoyé par cftvgy Voir le message
    P'''(1) était différent de zéro pour tout n appartenant à N*
    Cette partie est inutile.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    cftvgy

    Re : Exercice sur les polynômes (ordre de multiplicité des racines)

    Donc je dis juste que pour tout n plus petit que 3, P(n)(1) = 0 ?

    J'avais une autre question, dire tout simplement que P''(1)=0 constitue une preuve que P(X) est divisible par (X-1)3 ou j'ai bien fait de vérifier que P(1)=0 et P'(1)=0 au préalable?

  4. #4
    Médiat

    Re : Exercice sur les polynômes (ordre de multiplicité des racines)

    Citation Envoyé par cftvgy Voir le message
    Donc je dis juste que pour tout n plus petit que 3, P(n)(1) = 0 ?
    Strictement plus petit que 3, oui (être divisible pas (x-1)^3 n'est pas exactement la même chose que 1 est racine d'ordre 3

    Citation Envoyé par cftvgy Voir le message
    J'avais une autre question, dire tout simplement que P''(1)=0 constitue une preuve que P(X) est divisible par (X-1)3 ou j'ai bien fait de vérifier que P(1)=0 et P'(1)=0 au préalable?
    Il faut impérativement étudier les 3 : diriez-vous que "la dérivée seconde de x^4 + 1 s'annule en x = 0 donc x^4 + 1 s'annule en x = 0" ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    cftvgy

    Re : Exercice sur les polynômes (ordre de multiplicité des racines)

    Merci beaucoup !

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