point fixe, translation

[eyjafjallajokull]

Bonjour,

J'essaie de résoudre le problème ci-dessous mais il y à quelque chose que je ne comprend pas... Je considère un point x = (x1,x2) appartenant à R^2. Donc x appartient à C^2 et je le réecris x= (x1,x2) = (|x1|*(cos(teta)+i*sin(teta)), |x2|*(cos(teta)+i*sin(teta))). Je calcule h(x) tel que h(x) = h(x1,x2) = (x1,x2) et j'obtiens pour teta qui n'est pas un multiple entier de 2*pi, h(x) = (x1-v1,x2-v2) où (v1,v2)= v comme définit dans l'énoncé.. Si quelqu'un peut m'éclairer avec son point de vue, ce serait vraiment bienvenue... Merci!

-----

[gg0]

Bonjour.

Je ne peux pas voir encore tes pièces jointes (*), mais ce que tu écris m'interpelle !! :
"Je considère un point x = (x1,x2) appartenant à R^2." Autrement dit, x1 et x2 sont des réels.
"je le réecris x= (x1,x2) = (|x1|*(cos(teta)+i*sin(teta)), |x2|*(cos(teta)+i*sin(teta)))" ?? A priori, sauf si x1=x2, c'est impossible, ce n'est pas le même thêta. Celui pour x1 est, à 2 pi près, 0 ou pi, idem pour x2.
" pour teta qui n'est pas un multiple entier de 2*pi" Ben si, en tout cas une chance sur 2. Quels sont les arguments des réels ?

Soit tu ne dis pas ici ce que tu fais vraiment (énormes erreurs de copie), soit ça dérape très fortement.

Cordialement.

(*) "Pièces jointes en attente de validation"

[eyjafjallajokull]

Oui, il est vrai que sans l'énoncé, ce que j'ai écris semble étrange... Soit Tv:R2→ R2 la translation de vecteur v∈R2. On suppose que v n'est pas égal à 0. Soit Rθ:R2→ R2 la rotation d’angle θ de centre l’origine 0∈R2. On note h=Rθ◦Tv la composition de ces deux isométries. Prouver que h possède un point fixe si et seulement si θ n’est pas un multiple entier de 2π.
Suggestion. Utiliser les nombres complexes. J'ai recopié l'énoncé mais je pense que maintenant les pièces jointes sont accessibles. Cordialement.

[gg0]

Avec cet énoncé, ce que tu as écrit a encore moins de sens. Tu n'utilises ni la translation, ni la rotation.

Commence par traduire en termes de complexes la translation et la rotation (à une époque, c'était au programme de terminale scientifique en France), en considérant pour un point M de R² son affixe : Si M=(a,b) son affixe est a+ib.
Puis fais la démonstration demandée en deux étapes (travailler directement par équivalence n'est pas réaliste) :
"Si thêta n'est pas un multiple de 2 pi, alors ....
Si h possède un point fixe, alors ..."

Mais s'il te plaît, ne trafique pas les hypothèses ...

Cordialement.

NB : l'exercice se fait bien aussi avec les coordonnées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[eyjafjallajokull]

Même comme ça, si h possède un point fixe x=(x1,x2) et v=(v1,v2), alors Tv(x1,x2) = Tv(x1+i*x2) = (x1+v1,i*x2+i*v2). Puis Rθ (x1+v1,i*x2+i*v2) = (cosθ (x1+v1)-sinθ (i*x2+i*v2), sinθ (x1+v1)+cosθ (i*x2+i*v2)) ... si on choisi par exemple, θ = 3*pi, alors on obtient cosθ (x1+v1)-sinθ (i*x2+i*v2) = -x1-v1 qui n'est pas égal à x1 et sinθ(x1+v1)+cosθ (i*x2+i*v2) = -i(x2+v2) qui n'est pas égale à ix1... je ne comprend pas désolé..

[jacknicklaus]

tu pars dans tous les sens.
on travaille avec des complexes. une translation dans R2 devient une addition dans C :
z --> z + v (où v est un complexe)
une rotation de centre (0,0) et d'angle theta devient une multiplication par

la composition des deux est très simplement
dès lors la recherche d'un point fixe z0 s'exprime z0 = f(z0) que je te laisse résoudre.

[gg0]

Eya ...

Moi non plus, je ne comprends pas ... je ne comprends pas ce que tu écris ! D'ailleurs ce que tu écris n'a parfois pas de sens, puisque tu mélanges allègrement couples et complexes : " Tv(x1,x2) = Tv(x1+i*x2)= (x1+v1,i*x2+i*v2)"
Revenons un peu sur terre :
M(x1,x2) a pour affixe z=x1+i x2. Son image M' par la translation Tv est M'(x1+v1,x2+v2), d'affixe z'=x1+v1+i(x2+v2).
j'ai soigneusement évité d'écrire = entre des choses différentes. Sinon on n'y comprend rien.
L'image de M' par la rotation Rθ est M" d'affixe z'(cos(θ)+i sin(θ)) (*)

Voila les notations posées. Ensuite, on peut faire la preuve demandée :
"Si θ n'est pas un multiple de 2 pi, alors ..."

mais toi tu ne fais rien de ce qui est demandé ! tu écris " si on choisi par exemple, θ = 3*pi, alors on obtient..." Ben oui, on obtient quelque chose qui n'est pas écrit x1. Et alors ? On ne te dit pas que le résultat est l'application (x1,x2)-->(x1,x2). Et il est faux de dire que ce n''est pas égal à x1, tu n'en sais rien !!

Au fait, sais-tu ce qu'est un point fixe ?

Cordialement.


(*) voir un cours sur l'interprétation géométrique de la multiplication par un complexe.