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Les nombres complexes

  1. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    653

    Les nombres complexes

    Bonjour,

    j'ouvre cette discussion sur les nombres complexes.
    Plus précisément sur le passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou géométrique qui sont équivalentes.

    On peut montrer effectivement que tout nombre complexe peut être exprimé en gros comme
    Pour cela, pas de problèmes, par contre, je ne peux m'empêcher de trouver un peu magique que le produit de deux nombres complexe va s'obtenir en additionnant notamment les arguments des deux nombres. Je veux dire que je trouve un peu miraculeux que le passage à la forme trigonométrique soit "féconde" sur ce point, c'est-à-dire que comme "par hasard" :





    Je comprends l'interprétation géométrique que l'on peut en faire, avec des vecteur et la somme de vecteur, des rotations etc. mais tout cela découle notamment de la règle, que j'ai écrit qui se démontre par un calcul qui tombe bien "comme par hasard".

    Est-ce qu'on peut montrer ce résultat d'une manière "physique", “naturelle" pour voir que ca ne tombe moins du ciel qu'il m'y parait (encore une fois je n'ai aucun problème à voir ce que tout ca veut dire du point de vue géométrique, ma question est en amont de cela) ?

    -----

    Dernière modification par Merlin95 ; 10/01/2018 à 18h58.
     


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  2. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    653

    Re : Les nombres complexes

    J'ai trouvé ce document : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00879219/document qui est intéressant, car il pose de bonnes questions.

    En fait ma question, porte sur la correspondance entre l'algèbre et la géométrie, qui apparait assez de manière assez incompréhensible.

    PS : ma question est entre épistémologie et mathématique
    Dernière modification par Merlin95 ; 11/01/2018 à 16h52.
     

  3. begue

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Messages
    213

    Re : Les nombres complexes

    Commentaires très polémiques d'un profane.

    1 En résumé.
    - La Géométrie montre et est intuitive.
    - L’algèbre démontre et est déductive.

    2 Au cours de notre histoire.
    - Les grecques découvrent la géométrie
    - Les arabes découvrent l’algèbre
    - Descartes algébrise la géométrie.

    3 Similitude osée...
    On peut avoir 2 points vue pour un concept mathématique ( algébrique et géométrique).
    C'est comme en physique quantique (corpusculaire et ondulatoire).

    4 Question ouverte*: Un concept mathématique n'est pas toujours compris sous ses 2 formes.
    - Parfois on maîtrise bien la géométrie et on a du mal à exprimer son ' algébrisme '
    - Parfois on maîtrise bien la formule et on a du mal à voir sa géométrie.
    Par exemple la formule d’Einstein défini la forme de l'univers et pourtant ne nous pouvons pas l'imaginer topologiquement.

    A suivre...
    Merci à celles et ceux qui propagent la science sur Internet.
     

  4. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    653

    Re : Les nombres complexes

    Oui c'est bien ca le sujet : comment l'introduction du nombre i tel que (on peut d'ailleurs aussi voir i comme le nombre qui au carré, sensé être positif, rajouté à 1 donne 0), offre de nouveaux outils géométriques. Ca apparait assez fortuit. Je ne sais pas si je ne suis pas platonicien, mais ca pose des questions philosophiques.

    A suivre aussi...
    Dernière modification par Merlin95 ; 11/01/2018 à 18h08.
     

  5. begue

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Messages
    213

    Re : Les nombres complexes

    - Il y a une algèbre 1D sur la droite avec 2 opérations + et *
    - Ils ont inventé une algèbre 2 D sur le plan (algèbre complexe) avec 2 opérations + et *
    C'est la définition de cette opération multiplication des nombres complexe qui est le point clé (le secret) et qu'il faut bien comprendre.
    - Il existe aussi une algèbre de 4D.
    Merci à celles et ceux qui propagent la science sur Internet.
     


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  6. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    653

    Re : Les nombres complexes

    Oui encore un lien : http://raymond-queneau-villeneuve-as...ID_FICHIER=127

    Pour le 4D effectivement, j'ai vu ca avec les quaternions, c'est encore plus "secret".

    Mais j'ai l'impression que ma question est quelque part, sans réponse. Il semble qu'il faille accepter la chose telle quelle sans se poser trop de questions.
     

  7. begue

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Messages
    213

    Re : Les nombres complexes

    A lire petit à petit .

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe

    En fait la * se défini sous la forme polaire du nombre complexe (rayon, angle)

    (r1, A1) * (r2, A2) = (r1*r2, A1+A2) Le secret est là !!!!

    La forme polaire du nombre complexe ET Une combinaison de la * du 1D pour les rayons et l'addition du 1D pour les angles.
    Merci à celles et ceux qui propagent la science sur Internet.
     

  8. begue

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Messages
    213

    Re : Les nombres complexes

    Les 4 grands mystères*:
    - Le big bang*?
    - l'émergence de la vie*?
    - Le fonctionnement du cerveau*?
    - Les mathématiques*?
    Merci à celles et ceux qui propagent la science sur Internet.
     

  9. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    653

    Re : Les nombres complexes

    Citation Envoyé par begue Voir le message
    En fait la * se défini sous la forme polaire du nombre complexe (rayon, angle)

    (r1, A1) * (r2, A2) = (r1*r2, A1+A2) Le secret est là !!!!
    Oui c'est pour cela que dès le premier message, c'est de cela dont je parle.
    Elle se définit comme cela, mais on peut aussi l'obtenir par manipulation algébrique avec seulement , c'est ça qui interroge.
    On peut employer des termes passage d'une algèbre 1D à 2D, etc. mais cela ne me semble pas rendre le mystère de pourquoi ca fonctionne.


    Citation Envoyé par begue Voir le message
    Les 4 grands mystères*:
    - Le big bang*?
    - l'émergence de la vie*?
    - Le fonctionnement du cerveau*?
    - Les mathématiques*?
    Oui
    Dernière modification par Merlin95 ; 11/01/2018 à 18h44.
     

  10. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
    Localisation
    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
    Messages
    13 493

    Re : Les nombres complexes

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Oui c'est bien ca le sujet : comment l'introduction du nombre i tel que (on peut d'ailleurs aussi voir i comme le nombre qui au carré, sensé être positif, rajouté à 1 donne 0), offre de nouveaux outils géométriques.
    A condition d'abandonner la relation d'ordre total. Le sensé être positif n'a pas de sens clair sur les complexes.
    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Ca apparait assez fortuit. Je ne sais pas si je ne suis pas platonicien, mais ca pose des questions philosophiques.
    Pour définir i, on peut préférer plutôt que .
    Tout électronicien sent très bien que
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  11. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    653

    Re : Les nombres complexes

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Le sensé être positif n'a pas de sens clair sur les complexes.
    Non mais il faut partir des réels. On a une restriction on part de 1 et on introduit un nombre qui permet de revenir à 0, à partir d'un nombre multiplié par lui-même, ce qui est une restriction sur les réels. C'est une façon de définir i de manière à s'affranchir d'une "impossibilité" sur les réels.

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Pour définir i, on peut préférer plutôt que .
    Oui mais c'est une conséquence de ce que j'explique. On peut partir de la géométrie pour retomber sur l'algébrique, il n'y a en effet aucun point de vue à privilégier par rapport à un autre, mais c'est plutôt cette correspondance en générale qui reste assez "fortuite".
    Dernière modification par Merlin95 ; 11/01/2018 à 19h14.
     

  12. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    653

    Re : Les nombres complexes

    J'ajoute que j'aimerai bien avoir un avis de platonicien. @Stephjm c'est plutôt ton cas non ?
     

  13. azizovsky

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    4 324

    Re : Les nombres complexes

    il y'a l'idée et le support de l'idée, symboles, mots,..., je conçois physiquement l'idée des nombres complexes, comme une unité de mesure des 'êtres mathématiques 'imaginaires, maniables ' , d'un coté, j'ai des nombres réels, de l'autre coté, j'ai un univers 'imaginaire' qui sont reliée entres eux par une relation(s) mathématique(s), on peut écrire z= a.(1)+b.(p), (on pose p=i ou j , i²=-1, j²=1), comme je suis carreleur , la longueur (l) de mon carreau, je le mesure avec mètre, la largeur (L) avec l'unité p, p est un bout de carrelage (c'est mon unité imaginaire ), je prend n'importe quel carreau, je vais le mesurer dans ma jauge, la relation mathématique entre (1cm) et p est : p=x(1cm), la représentation Z= l (1cm)+L(p= longuer d'un bout de carrelage)=a(1)+b(p) avec :

    a :la projection orthogonale sur la longueur de 'ma jauge' de la diagonale (s) d'autre carreau .
    b :la projection orthogonale sur la largeur de 'ma jauge' de la diagonale du carreau.

    d'après le théorème de Pythagore a²+b²= s² ,

    or a et b sont mesurés dans deux 'jauges' différents, donc je doit utiliser la relation entre (1cm) et (p=x(1cm) pour homogénéiser et donner un sens physique à la relation de Pythagore ...
    pour les nombres complexes z.zbar= (module (z))²...
     

  14. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
    Localisation
    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
    Messages
    13 493

    Re : Les nombres complexes

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    J'ajoute que j'aimerai bien avoir un avis de platonicien. @Stephjm c'est plutôt ton cas non ?
    Certains jours, sans doute un peu.

    Sur cette exemple, je ne sais pas trop.

    Petit, j'ai accepté la multiplication complexe comme une nouvelle définition
    (a+i.b)(a'+i.b') = (aa'-bb')+i.(ba'+ab')
    Sur le coup, je me suis vraiment dit que c'était trop chelou et pas naturelle du tout comme définition.

    Avec le recul, je la trouve naturelle parce que cela colle avec argument et module.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  15. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    17 111

    Re : Les nombres complexes

    Bonjour,
    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Avec le recul, je la trouve naturelle parce que cela colle avec argument et module.
    Ne pas oublier que c'est un cas particulier d'une méthode très générale (Cayley-Dickson) qui marche parfaitement
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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