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Loi de Cauchy et médiane

  1. fabio123

    Date d'inscription
    novembre 2008
    Messages
    157

    Loi de Cauchy et médiane

    Bonjour,

    en probabilités, sur la page wikipedia de la loi de Cauchy, je comprends qu'en , ce point représente la médiane, étant donné que la courbe est symétrique en x0.

    Cependant, je ne comprends pas pourquoi l'espérance n'est pas définie car à la fin de la partie "Espérance et écart type", il est écrit :



    Cette expression n'est-elle pas égale à la définition de l'espérance pour un intervalle sur X de ?

    Merci pour votre aide

    -----

     


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  2. phys4

    Date d'inscription
    mars 2009
    Localisation
    Ile de France
    Âge
    74
    Messages
    7 704

    Re : Loi de Cauchy et médiane

    Bonjour,
    L'explication est donnée dans la référence.
    Il faut que l'intégrale converge absolument pour pouvoir définir espérance et écart-type.
    Le comportement des échantillons d'une telle loi de probabilité est très déroutant, en essayant de simuler cela, les groupes de valeur ne se rassemblent pas autour d'une moyenne, et il apparait rapidement que la moyenne ne se stabilise pas avec le nombre d'échantillons, comme dans le cas d'une loi normale.
    Comprendre c'est être capable de faire.
     

  3. fabio123

    Date d'inscription
    novembre 2008
    Messages
    157

    Re : Loi de Cauchy et médiane

    excusez mon ignorance mais pourriez-vous me dire la différence entre :



    et

    il y a une subtilité que je n'ai pas comprise ...
     

  4. phys4

    Date d'inscription
    mars 2009
    Localisation
    Ile de France
    Âge
    74
    Messages
    7 704

    Re : Loi de Cauchy et médiane

    La première converge par valeurs principales, mais la définition de la moyenne c'est la seconde expression, qui ne converge pas.

    Bien que les valeurs aléatoires soient centrées sur xo, cela se traduit par le fait que la mesure par un panel d'échantillons est impossible, comme indiqué dans le message précédent.
    Le sens physique de la définition de la moyenne suit donc la définition mathématique.
    Comprendre c'est être capable de faire.
     

  5. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 568

    Re : Loi de Cauchy et médiane

    Fabio123, ta seconde intégrale dont converger à la fois en -oo et +oo, indépendamment.
    Sa signification est

    Le résultat dépend de la façon de faire tendre a vers l'infini et b vers l'infini. Regarde ce que ça donne si a tend vers -oo (on verra b ensuite).

    Cordialement.
     


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  6. fabio123

    Date d'inscription
    novembre 2008
    Messages
    157

    Re : Loi de Cauchy et médiane

    @gg0

    Merci pour ta réponse. Si je fais tendre a vers , la fonction à intégrer tend vers : le souci vient-il du fait que l'intégrale de cette limite de fonction diverge pour des bornes, par exemple, ?

    Je ne connais pas bien les concepts utilisés pour faire varier de différentes façons a et b vers l'infini : ça a sans soute un rapport avec l'intégrabilité au sens de Lebesgues.

    Si vous avez des liens me permettant de mieux comprendre cette spécificité, je suis preneur

    Cordialement
     

  7. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 568

    Re : Loi de Cauchy et médiane

    Bonjour.

    Tu te trompes dans ta réponse, les primitives de ta fonction à intégrer contiennent un ln((x-x0)²+a²) qui fait que en -oo, on a une limite infinie.

    Je n'avais pas fait attention à la présence de la lettre a dans la fonction, mais en tout cas, quand b tend vers l'infini, la première borne étant fixé, même chose, l'intégrale tend vers l'infini.
    En général, on se contente de vérifier si les intégrales sur ]-oo, 0] et sur [0,+oo[ convergent. Si l'une des deux diverge, l'intégrale sur ]-oo,+oo[ n'existe pas.

    "Je ne connais pas bien les concepts utilisés pour faire varier de différentes façons a et b vers l'infini : ça a sans soute un rapport avec l'intégrabilité au sens de Lebesgue." ??? Il n'y a pas de concept !! On calcule une primitive, puis l'intégrale sur [a, b], puis on fait tendre les limites vers l'infini, comme on veut.

    Le lien avec l'intégrale de Lebesgue n'existe que si l'intégrale converge (mode intégrale généralisée) et la fonction est intégrable au sens de Lebesgue. Par exemple sin(x)/x n'est pas Lebesgue intégrable, bien que son intégrale généralisée existe.

    Cordialement.
     


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