définition de dérivabilité

[sleinininono]

Bonjour,

j'essaye de réflechir à un exercice qui tente de construire une définition de la dérivabilité en 0 avec des entiers qui tendent vers plus l'infini.

I.e. : avec f dérivable en 0, f'(0) = lim [f(x) - f(0)]/[x] = lim n { f(1/n) - f(0) } avec n = 1/x

je me demande pourquoi le sens contraire ne fonctionne pas. Autrement dit, si la lim avec les entiers existent, elle n'existe pas toujours avec les x.

Je pensais à construire une fonction trigo avec à l’intérieur un multiple de la période ou quelque chose comme ça... la correction propose la valeur absolue de x.
Déjà je ne vois pas pourquoi abs(x) fonctionnerait comme contre exemple, et par ailleurs je ne suis pas convaincu par l'intuition pour trouver cette fonction...


auriez vous d'autres idées, une méthode pour trouver un contre exemple et peut être une explication pourquoi abs(x) marche.

merci !

bonne journée !
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[gg0]

Bonjour.

Comme tu prends n positif, tu ne fais ici qu'une limite à droite. Donc tu peux seulement arriver à une définition de dérivée à droite (la fonction "valeur absolue" a bien une dérivée à droite en 0, égale à 1).

Pour montrer qu'il y a un problème même pour la dérivation à droite, tu peux prendre

prolongé par 0 en 0, qui n'est pas continue, voire même

prolongée par continuité par 0 en 0.
Dans les deux cas, la sécante passant par (0,0) et (x,f(x)) pour x non nul prend des positions toujours de plus en plus variables quand x se rapproche de 0, sans se stabiliser à la limite.

Cordialement.

[sleinininono]

sin pi/x en 0, pour calculer la limite on ferait comment ? j'imagine que elle passe une infinité de fois par 0 mais elle passe aussi une infinité de fois par 1 et -1 non?

je ne connaissais pas ces deux courbes très jolies merci pour le partage



par contre je ne vois toujours pas comment on peut calculer des dérivés comme celles-ci. Vous dites que les dérivés à gauche et à droite ne sont pas les mêmes mais je ne vois comment montrer cela...


est ce que si on prenait alors la limite de n en plus l'infini et moins l’infini (pour faire la dérivé à gauche et à droite), les deux définitions seraient équivalentes?


merci!
sleinininono

[gg0]

"sin pi/x en 0, pour calculer la limite on ferait comment ? "
Parce que tu trouves qu'il y a une limite ? Quand x se rapproche de 0, f(x) se rapproche de quoi ?

" Vous dites que les dérivés à gauche et à droite ne sont pas les mêmes mais je ne vois comment montrer cela"
Je parlais de dérivée à gauche et à droite différentes pour la fonction valeur absolue. Prière de bien lire les réponses, et de réfléchir à 2 fois avant de poser des questions !

"est ce que si on prenait alors la limite de n en plus l'infini et moins l’infini (pour faire la dérivé à gauche et à droite), les deux définitions seraient équivalentes?"
Même remarque !!

[A voir en vidéo sur Futura]