Aide Résolution Intégrale

[Haomaru]

Bonsoir, je suis en BTS Informatique et j'ai un exercice a faire sur les intégrales. Je bloque a une question ce qui me fait arreter l'exercice a la moitié..
Pourriez vous m'aider ?? Je vous donne l'enoncé :

En utilisant l'exponentielle complexe calculer l'integrale I = exp(-x)*sin(2x)dx je ne sais pas faire le signe de l'integrale mais c'est 0 en bas et pi/2 en haut...

C'est assez urgent alors j'espere que vous pourrez m'aider..

Merci d'avance

[folky]

c'est pas dur avec l'indication

sin(2x)= (exp(2ix)-exp(-2ix))/2i

donc ça donne exp(-x)sin(2x)=(exp((2i-1)x)-exp(-(2i+1)x))/2i

Apres integration ça donne:


[exp((2i-1)x)/(-4-i2)+exp(-(2i+1)x)/(2i-4)]

Voila sauf erreur c'est ça, tu n'as plus qu'a prendre les valeurs en 0 et pi/2

[Haomaru]

Bonjour,

merci pour l'aide mais j'ai essayé de continuer et je suis encore bloqué car je me retrouve encore avec des "i" or je pense qu'il ne devrait plus y en avoir a la fin....

Quelqu'un pourrait me montrer comment calculer cette integrale sur 0 pi/2 ?

Merci d'avance

[curieux]

Il te faut alors écrire les complexes 1/(-4-2i) et 1/(-4 + 2i) sous une forme exploitable
(-1/5) + (1/10)i pour l'un et (-1/5) - (1/10)i pour l'autre

tu regroupes alors (-1/5)*exp(-x)*(exp(2ix) + exp(-2ix)) qui te donne du cos(2x)
et tu regroupes (1/10)i*exp(-x)(exp(2ix) - exp(-2ix))
la dernière parenthèse donne du 2isin(2x) et les "i" finissent par s'éliminer.

cependant.... il était tellement plus simple de chercher une primitive de exp(-x)*sin(2x) sous la forme (asin(2x) + bcos(2x))exp(-x)

[folky]

c'est normal qu'il y ait des i
Ceci dit y a toujours moyen de les camouflés

Ceci dit si tu prévères pas les avoir, une primitive de ta fonction en utilisant ce que dit curieux c'est:

-(2cos(2x)+sin(2x))*exp(-x)/5

Ton résultat final doit etre : 2*exp(-pi/2)/5+2/5

[Haomaru]

ok,

le resultat donne F(x) = (-1/5)*[cos(2x)+sin(2x)] ??

merci pour l'aide et merci de me corriger si j'ai faux....

[folky]

je t'ai mis la réponse au dessus qui normalement est la bonne

Dans la tienne il manque au moins l'exponentielle ça c'est sur

[Haomaru]

rebonjour,

je ne comprend pas trop ce qu'a fai curieux...

Folky, ca serai possible que tu me detaille un peu a partir du moment ou on trouve :

exp(-x)*sin(2x) = [exp(x(2i-1)) - exp(x(-2i-1))] / 2i

Ca serai sympa si tu me detaillais les etapes jusqu'a arriver a une primitive sans les "i"...

Merci beaucoup, et désolé de te redemander ca mais j'ai vraiment du mal... :?

[folky]

déjà est ce que tu connais cette formule:

sin(2x)= (exp(2ix)-exp(-2ix))/2i

si tu connais pas recherche formule de moivre et euler, ce sont des formules tres utilisées pour passer des sinus et cosinus aux exponentielle.

Ensuite dans ta question on te demande d'utiliser l'exponentiel complexe, donc c'est normal que t'as primitif ait des i.
Si tu utilises la méthode de curieux ça marche mais tu réponds pas vraiment avec ce qu'on te demande d'utiliser.
Pour terminer ce n'est pas important que ta solution comporte des i ou pas ça c'est juste une question d'écriture.

Je résume:

sin(2x)= (exp(2ix)-exp(-2ix))/2i (formule à connaitre)

quand tu multiplies avec l'exponentielle ça donne ça:

exp(-x)sin(2x)=(exp((2i-1)x)-exp(-(2i+1)x))/2i

Ensuite la primitive de exp(ax) c'est exp(ax)/a lorsque a est une constante.
Donc tu trouves: [exp((2i-1)x)/(-4-i2)+exp(-(2i+1)x)/(2i-4)]

Voila, je sais que c'est pas détailler mais c'set infernal à faire sur forum
Enfin hésite pas si tu tilts toujours pas

[Haomaru]

salut,
jusque la je comprend

mais c'est a partir de la jusqu'a la primitive finale sans les "i" que j'ai du mal a comprendre...
Curieux a tenté de m'expliquer comment faire mais c'est aller un peu vite pour moi donc est-ce que tu pourrai m'en dire un peu plus sur son raisonnement pour arriver a la primitive = -(2cos(2x)+sin(2x))*exp(-x)/5
??

merci d'avance pour ton aide

[folky]

[exp((2i-1)x)/(-4-i2)+exp(-(2i+1)x)/(2i-4)] =-(2cos(2x)+sin(2x))*exp(-x)/5


Mais c'est pas facile de passer de l'une a l'autre "facilement", curieux sait qu'il existe une primitive sous cette forme (ça se démontre) donc en partant de la forme général, tu la dérives pour trouver les constantes.

Mais c'est pas important ça ^^
Pour répondre a ta question faut utiliser la premiere, je te fais le début:
en pi/2 ça vaut:

[exp((2i-1)pi/2)/(-4-i2)+exp(-(2i+1)pi/2)/(2i-4)]

maintenant il faut savoir que exp(-i*pi) ça fait -1.
Ca donne donc:

exp(-pi/2)/(4+2i)+exp(-pi/2)/(4-2i)

=exp(-pi/2)(1/(4+2i)+1/(4-2i))

=exp(-pi/2)(8/20)

=2exp(-pi/2)/5


Voila tu n'as plus qu'a faire la meme chose avec 0
Je te rappele que tu dois trouver 2*exp(-pi/2)/5+2/5

[pallas]

Suis la methode de curieux qui part du principe qu'une primitive de e(-x) (sin2x )est de la forme e(-x)(acos2x + b sin2x) =F(x)
En dérivant on obtient F'(x) = e(-x)( -acos2x -bsin2x -2asin2x +2bcos2x)(f'g+fg')
En identifiant avec e(-x)sin2x on obtient le système -a+ 2b = 0 avec -2a -b =1
soit a = -2/5 et b = -1/5
d'où une primitive de la fontion est e(-x) ((-2/5)cos2x -(1/5)sin2x) ceci à prendre entre les bornes 0et pi/2
soit F(pi/2) - F(0) soit F(pi/2)=(2/5) e(-pi/2) et F(0) =-2/5
d'où le résultat (2/5) ( e(-pi/2) +1)

A +

[trisk]

arréter avec les "i" y'en a pas besoin, fait une intégrale par partie deux fois de suite:

résultat: (2/5)*((e^(-pi/2))-1)

Et sans vouloir me vanter, le résultat est garantis!!!!!!!

[Jo]

Bonjour tt le monde!

Y'a une solution encore plus simple.
Tu dis que sin(2x)=Im(exp(2x)).(ie que sin(2x) est la partie imaginaire de exp(2x)).
Et d'apres les propriétées lineaires de l'integrale, tu as que
Integrale(Im(f(x))) = Im(Integrale(f(x)))

Ton resultat sera donc Im(Integrale(exp(-x)*exp(2x)dx)) = Im(Integrale(exp(x)dx) = Im(exp(x)) = sin(x).
Voila.
Bye!

[trisk]

désolé, me suis trompé sur le clavier, un - au lieu d'un plus, la demonstartion est à cette adresse:

http://trisknetwork.free.fr/divers/integrale.jpg

A+