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Résolution d'équations du 3e degré paradoxale

  1. #1
    vichente18

    Résolution d'équations du 3e degré paradoxale

    Bonsoir ,

    Je viens vers vous car je me prend la tête sur une équation du 3ème degré et je n'arrive pas à savoir après plusieurs vérifications d'ou peut provenir mon erreur et c'est très frustrant !

    Voici l'équation x3 +3x²-3x-10 = 0

    J'ai réussi à résoudre cette équation sans soucis avec la méthode de la racine évidente, -2 est solution de l'équation donc on factorise :
    ( x+2 ) et après calculs l'autre parenthèse est (x+2)(x²+x-5 ) donc l'ensemble des solutions est -2 ; -1+rac(21)/2 ; -1-rac(21)/2 pas de soucis.

    Mais en passant par la méthode de cardan , je ne vois pas pourquoi ça ne fonctionne pas !
    J'ai enlevé le degré 2 à mon équation avec un changement de variable, j'aboutis à z3 -6z -5 = 0
    Donc , -3uv = -6 soit uv = 2 donc au cube = 8
    Et u3+v3 = 5
    Soit a = u3 et b= v3 , je substitue a dans le produit par 5-b donc (5-b)(b)=8
    J'arrive à cette équation X²-5X+8 = 0 , mais là problème delta = -7 , alors que l'équation n'a que des solutions réelles.... ça me stresse , j'y arrive normalement !

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Resartus

    Re : Résolution d'équations du 3e degré paradoxale

    Bonjour,
    Aucune erreur : quand l'équation a trois racines réelles, l'équation auxiliaire a en effet des racines complexes. Si vous continuez le calcul, vous verrez que les sommes des racines cubiques de ces nombres complexes donnent bien les solutions réelles attendues.

    Cela avait choqué également, en son temps, les inventeurs de la méthode, il y a plus de trois cents ans…
    Dernière modification par Resartus ; 07/06/2018 à 08h08.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  4. #3
    vichente18

    Re : Résolution d'équations du 3e degré paradoxale

    Merci beaucoup pour l'information.
    Je résous l'équation X²-5X+8 = 0 , je trouve delta est égal à -7.
    x1 = 5+ i rac(7)/2 et x2 = 5- i rac(7)/2
    J'arrive donc à une racine de l'équation qui est 2.71 qui en est effectivement une, bien que pas la plus simple

  5. #4
    Resartus

    Re : Résolution d'équations du 3e degré paradoxale

    Bonjour,
    Pour trouver les autres, il faut prendre les autres racines cubiques de x1 et x2, en les appairant correctement
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  6. #5
    vichente18

    Re : Résolution d'équations du 3e degré paradoxale

    Je bloque pour trouver les deux autres racines. Voilà ce que j'ai fais :
    J'ai pris u = j* racine cubique de 5/2 et v = j²* racine cubique de 5/2
    Quand j'additionne ça me donne juste la valeur négative de ma racine cubique. Et dans sens c'est normal car j3 = 1
    Je ne vois pas , j'arrive cardan pour la première solution , après je galère ...

  7. #6
    Resartus

    Re : Résolution d'équations du 3e degré paradoxale

    Bonsoir,
    Il faut prendre les racines cubiques du nombre complexe (5+iracine(7))/2, pas seulement celles de sa partie réelle
    Citation Envoyé par vichente18 Voir le message
    J'ai pris u = j* racine cubique de 5/2 et v = j²* racine cubique de 5/2
    Elles valent à peu près
    a1=1,40+0,228i
    a2=-0,896+1,0945i
    a3=-0,5-1,329i

    Et en les additionnant à leur conjugué venant de l'autre racine, vous trouverez bien trois nombres réels
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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