Division de polynômes

[Sharp]

Salut,
j'ai un problème sur les polynômes que je n'arrive pas à r"soudre, je m'embrouille dans des équations à n'en plus finir... :?
Voilà:
On a un polynôme P(x). P(x) a pour reste (-7) quand on le divise par (x-2).
P(x) a pour reste 8 quand on le divise par (x+1).
Il faut déterminer R(x) ,reste de la division de P(x) par (x-2)(x+1).
Je n'arrive pas à trouver les relations entre les restes, et je n'arrive pas à obtenir une équation où on a seulement R(x) en fonction de x.
Merci de me donner un peu d'aide!

[Marc]

L'idée est d'exprimer que R(X) est de degré inférieur ou égal à 1.
Donc R(X) = aX+b

On note :
P(X) = Q1(X)(X-2) - 7
P(X) = Q2(X)(X+1) + 8
et P(X) = Q3(X)(X-2)(X+1) + aX + b

Donc :
(i) aX + b = m(X-2) - 7
(ii) aX + b = n(X+1) + 8

En faisant (i)=(ii) :
on identifie le degré 1 : m = n = a
on identifie le degré 0 : -2m - 7 = n + 8
Ainsi, m = n = a = -5

Ensuite, il reste à trouver b. On remplace a dans (i) (ou bien dans (ii)) :
-5X + b = -5X + 3
Donc b = 3

Finalement je trouve R(X) = -5X + 3
Ca paraît juste ??

Marc

[shokin]

salut, Sharp,

je suis arrivé à la même réponse que Marc d'une autre manière :

j'ai utilisé la relation de congruence et de ses propriétés : a est congruent à b modulo c quand a et b chacuns divisés par c obtiennent le même reste, par exemple 7 est congruent à 11 modulo 4 ou 7=11 (mod 4), mais le égal a trois traits au lieu de deux normalement.

J'ai pour hypothèses :

P(x)=-7 (mod x-2)
P(x)=+8 (mod x+1)

d'où :

(x+1)P(x)=-7(x+1)(mod (x-2)(x+1))
(x-2)P(x)=8(x-2)(mod (x-2)(x+1)) pour avoir la même base dans les deux hypothèses.

j'ai utilisé la propriété suivante :

a=b (mod c) implique ad=bd (mod cd) (et non réciproquement)

ensuite j'obtiens :

P(x)((x+1)-(x-2))=-7(x+1)-8(x-2) (mod (x-2)(x+1))

j'ai utilisé la propriété suivante :

((a=b (mod c)) et(a'=b' (mod c))) implique (a+-a'=b+-b' (mod c))

d'où :

3P(x)=-15x+9 (mod (x-2)(x+1))

j'obtiens :

3P(x)+15x-9=0 (mod (x-2)(x+1))
3(P(x)+5x-3)=0 (mod (x-2)(x+1))

d'où :

P(x)+5x-3=0 (mod (x-2)(x+1))

j'ai utilisé la propriété suivante :

(a=b (mod c)) implique (a/m=b/m (mod c)), valable si a et b sont multiples de m.

d'où :

P(x)=-5x+3 (mod (x-2)(x+1))

[curieux]

Et encore plus simple...

Si P a pour reste -7 dans la division par x-2 alors P(2) = -7
Si P a pour reste 8 dans la division par x+1 alors P(-1) = 8

Or P(x) =(x+1)(x-2)Q(x) + ax+b
Donc P(2) = 2a+b et P(-1) = -a+b

Il suffit de résoudre le système
2a+b = -7
-a + b = 8

le rassurant c'est que, quelle que soit la méthode, on trouve pour reste R(x) = -5x+3

[Marc]

Curieux, tu as gagné le prix de la solution la + courte !!

Marc

[Sharp]

Merci beaucoup de m'avoir répondu. En fait, je m'embrouillais dans mes équations parce que je n'avais pas réalisé que R(x) était forcément de degré 1. Pourtant, c'est tout bête!