Calcul de coordonnées d'une extrémité d'un arc de cercle

Rrominet · 11/07/2006 - 15h25

Bonjour,

Je me permet de déposer un message ici pour un problème que je n'arrive réellement pas à résoudre.

Je développe une application dans laquelle j'ai besoin de calculer les coordonnées des extrémités d'un arc de cercle.

Celui-ci peut avoir n'importe quel angle, rayon et centre.
Dans quelques cas, j'arrive à trouver les coordonnées à laide de cos et sin, mais je n'arrive pas à en faire une généralité, malgré tous mes efforts depuis ce matin...

J'ai joint un schéma afin d'expliquer mon problème et d'avoir un repère sous les yeux.

Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

doudache · 11/07/2006 - 16h34

Salut !

Ce que tu cherches, c'est l'image d'un vecteur par une rotation d'angle a, non ? La matrice d'une telle rotation, c'est

$M = \left(\begin{array}{cc} \cos a & \sin a \\ -\sin a & \cos a \end{array} \right)$

Ensuite, ton vecteur CB est l'image de CA par cette rotation. Au final, tu as (pour des vecteurs) :

$OB = OC+CB = OC + M(CA)$

En terme de coordonnees :

$\begin{array}{l} x_B = x_C + (\cos a)(x_A -x_C) + (\sin a) (y_A-y_C) \\ y_B = y_C + (\cos a)(y_A -x_C) - (\sin a) (x_A-y_C) \end{array}$

sauf erreurs (tres probable).

C'est ensuite assez facile d'adapter les autres situations pour se ramener a celle la.

mécano41 · 12/07/2006 - 11h42

Bonjour,

En te basant sur le schéma joint, et en prenant le sens positif des angles comme indiqué, et toujours en partant de l'axe CS pour $\beta\$ et de l'axe CA pour $\alpha\$ , tu as :

$X_n\ =\ R.cos(\alpha+\beta)\ +\ X_c$
$Y_n\ =\ R.sin(\alpha+\beta)\ +\ Y_c$

où n désigne l'indice du point (A, B...)

Pour $\ X_a\ et\ Y_a$ , tu fais $\ \alpha\ = \ 0\$ tu gardes ainsi la même formule dans tes calculs.

Cela fonctionne pour des angles $\alpha\ et\ \beta$ négatifs.

Bon courage

Rrominet · 13/07/2006 - 08h14

doudache : Merci pour ta réponse, mais en fait j'ai mal exposé mon problème et ta formule ne convient pas.

Je n'ai en fait pas les coordonnées de mon point A, contrairement à l'exemple que j'ai affiché.

A la base, je dois pouvoir trouver les coordonnées respectives (x1, y1) et (x2, y2) des points A et B quels que soient les angles a et b, sachant que je connais les valeurs de ces angles, du rayon R de l'arc ainsi que des coordonnées (x0, y0) du centre C de l'arc.

De plus, dans mon problème mes angles partent toujours d'une origine unique, représentée par mon trait vert clair sur mon schéma.

mécano41 : Ta formule est la même que j'avais déjà utilisé, mais je n'arrive pas à gérer tous les cas de figure avec celle-ci malheureusement...

mécano41 · 13/07/2006 - 09h29

Bonjour,

Tu remplaces les deux formules par :

$X_n\ =\ -R.cos(\alpha+\beta+\pi)\ +\ X_c$
$Y_n\ =\ -R.sin(\alpha+\beta+\pi)\ +\ Y_c$

et cette fois $\ \beta\$ est bien ton angle vert, il est positif dans le sens trigo. comme sur mon schéma précédent.

J'ai testé, ça marche dans tous les cas de figure.

Bon courage

mécano41 · 13/07/2006 - 09h36

Attends que je revérifie, je pense avoir fait une confusion ! Désolé pour ce contretemps !

A bientôt

doudache · 13/07/2006 - 09h40

Envoyé par Rrominet

A la base, je dois pouvoir trouver les coordonnées respectives (x1, y1) et (x2, y2) des points A et B quels que soient les angles a et b, sachant que je connais les valeurs de ces angles, du rayon R de l'arc ainsi que des coordonnées (x0, y0) du centre C de l'arc.

Ah pardon, je n'avais pas bien compris.

Je pense quand meme que tu peux t'en sortir avec des rotations : il suffit de te fixer un point intermediaire Dde coordonnees (x_C-R,y_C) et faire tes rotations. Du coup tu obtiens les formules donnes par mecano41 (au signe pres) :

$x_A = x_C - R \cos b$

$y_A = y_C - R \sin b$

$x_B = x_C - R \cos (a+b)$

$y_B = y_C - R \sin (a+b)$

Je ne comprends pas trop pourquoi tu n'arrives pas a gerer tous les cas de figures... peux-tu expliquer les problemes que tu rencontres ?

mécano41 · 13/07/2006 - 10h11

J'avais effectivement fait une confusion. Cela donne :

$X_n\ =\ R.cos(\alpha+\beta1-\pi)\ +\ X_c$
$Y_n\ =\ R.sin(\alpha+\beta1-\pi)\ +\ Y_c$

Pour éviter toute confusion j'ai appelé $\ \beta1\$ ton angle vert, pris dans le sens trigo. comme indiqué plus haut.

Bon courage

Pour Doudache : ce qui lui pose problème c'est la position de départ de beta qui lui est imposée.

mécano41 · 14/07/2006 - 09h26

Bonjour,

J'ai mis cela dans EXCEL. Il calcule et trace les axes de C, les rayons CA et CB et l'arc AB. Si ça t'intéresse pour faire des vérifs rapides, laisse-moi une adresse E-mail en message privé.

A bientôt

Rrominet · 17/07/2006 - 06h30

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

En fait, malgré ça j'ai dû faire comme je pensais au départ, c'est à dire gérer tous les cas de figure.

Voilà mes formules :
http://adc.lentilly.free.fr/download/coord_arc_1.jpg
et
http://adc.lentilly.free.fr/download/coord_arc_2.jpg

Il faut dire que je n'ai pas fait de trigo depuis la terminale et que ça remonte déjà plutôt loin pour moi

En tout cas merci de vous être penchés dessus.

mécano41 · 17/07/2006 - 07h30

Normalement, ce que j'ai donné plus haut traite tous les cas de figure :

- le centre C n'importe où dans les 4 quadrants
- les angles alpha et beta positifs ou négatifs (et supérieurs à 2.pi, même si ça ne sert pas à grand chose!)

Le fichier EXCEL que je te propose vérifie cela.

...à moins que j'aie oublié quelque chose ...

Rrominet · 19/07/2006 - 15h32

mecano41 : Merci pour ton fichier.

Je n'ai pas encore regardé, étant en déplacement pour le travail ce début de semaine.

Ma technique semble fonctionner pour le moment, mais si tu as mieux dans ton fichier, je récupérerais cela

Merci encore pour votre aide !!!