Espace de Baire non complet?

[indian58]

Bonjour à tous,

je me suis récemment posé la question suivante: existe-t-il des espaces de Baire non complet (en particulier le théorème de Baire ne serait qu'une implication)??
Si vous avez des suggestions,


cordialement.
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[Gwyddon]

Des bêtises que j'ai effacées.. Désolé.

[Gwyddon]

Bon cette fois je vais essayer de ne pas dire trop de bêtises

Mon intuition me fait dire qu'effectivement le théorème de Baire n'est qu'une implication ; sinon il n'y aurait eu aucune raison d'introduire un concept comme celui d'espace de Baire, si cela avait été la même chose qu'espace complet. Donc je pense que l'ensemble des espaces de Baire contient strictement l'ensemble des espaces métriques.

Mais ceci n'est qu'une intuition "logique", ce n'est pas une démonstration ..

[invitea77054e9]

Salut,

Voir la remarque page 2 du lien suivant:
http://ufr-math-p12.univ-mlv.fr/Mait.../AF05-06_2.pdf

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

Donc je pense que l'ensemble des espaces de Baire contient strictement l'ensemble des espaces métriques...

...complets .

Je viens de me rendre compte que mon lien ne répondait absolument pas à la question initialement posée. Désolé.

[GuYem]

Salut

Dans la définition d'un espace de Baire, il n'est question que de topologie. Dans la définition d'un espace métrique, il y a une distance.

On doit donc certainement trouver un espace topologique, non métrisable, qui est de Baire.

Cela fait grandement avancer le schmilblick n'est-il-pas ?

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

C'est une bonne question, et j'avoue ne pas avoir d'exemples sous la main, même si je pense comme Gwyddon : Si ça a été inventé, il doit y avoir une raison. Cela dit, si des contre exemples existent, je dirai que tu pourrais certainement les trouver dans le Choquet intitulé Topologies, qui est par ailleurs un excellent livre, et que je recommande vivement à ceux qui sont intéressés.

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rvz : Bravo aux agrégatifs !

[invitea77054e9]

Salut,

Cette fois-ci j'arrive avec un exemple sous la main (trouvé dans "Elément d'Analyse Fonctionnelle", de Hirsch et Lacombe).
On munit de sa distance usuelle. On montre alors que n'est (évidemment) pas complet, mais que c'est un espace de Baire.

[indian58]

> rvz j'ai ce livre et je vais y jeter un coup d'oeil. C'est vrai qu'il est excellent!
>Evariste_galois merci beaucoup pour ce contre-exemple. La démontration quant au fait qu'il est un espace de Baire est-elle simple ou pas? de quel genre?

[martini_bird]

Salut,

La démontration quant au fait qu'il est un espace de Baire est-elle simple ou pas? de quel genre?

Si on prend le lemme de Baire suivant lequel une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide, si une telle réunion était d'intérieur non-vide dans , alors elle le serait dans , d'où une contradiction avec le fait que soit un espace de Baire (puisque métrique complet). Amhà, ça ne doit pas être plus compliqué que celà, si ?

Cordialement

[Gwyddon]

Attention à bien vérifier la transitivité de la topologie... Ton raisonnement se base sur le fait que le passage de la topologie trace sur les irrationnels à la topologie sur les réels n'affecte le caractère non-vide de l'intérieur. Il faut le vérifier je pense (même si à mon avis c'est vrai).

[martini_bird]

Oui tout à fait. Mais les deux topologies sont issues de la même métrique et dans les deux cas les boules ouvertes forment une base de voisinage. Il suffit donc de voir ce qui se passe pour les boules et il n'est pas difficile de voir qu'une boule d'intérieur vide dans est d'intérieur vide dans ...

Cordialement.

[invitea77054e9]

Salut,

Une piste pour montrer que est une espace de Baire: Montrer qu'une intersection dénombrable d'ouverts denses d'un espace de Baire est encore un espace de Baire. On peut alors appliquer facilement ce résultat à .

[Quinto]

Salut,
c'est facile votre truc si on crée des espaces pour l'occasion.
Par exemple R muni de la topologie contenant n'importe quel sous ensemble A strict de R et de vide.
Si on crée donc la topologie T={R,A,vide}, on a que la fermeture de A est R, ainsi A est dense dans R.
Toute intersection d'ouvert dense est encore un ouvert dense, et c'est donc un espace de Baire.
Je pense que l'on peut facilement montrer que cet espace est non métrisable (par exemple, aucun singleton n'est fermé si on choisi A tel que card(R-A)>1, et dans un métrique tout singleton est fermé)

Si je ne dis pas de bétise, ca fonctionne.
A+

[inviteaecbd04d]

Une réponse très simple est l'intervalle ouvert muni de la métrique habituelle (provenant de la valeur absolue). Il est de Baire car il est homéomorphe à qui est de Baire (comme le soulignait GuYem, "être de Baire" est une propriété topologique). Pourtant il n'est pas complet.

Noter que la complétude est une notion métrique (on a besoin d'une distance pour définir les suites de Cauchy) et pas topologique. Le lemme de Baire fait le lien entre ces deux notions.

Au passage, je signale l'existence du site web collaboratif (wiki) La boite à Baire qui se propose de recenser les applications du lemme de Baire.

[indian58]

Pas mal du tout ce site, renebaire.

[Gwyddon]

Et merci aussi pour cet exemple plus qu'instructif

[inviteaecbd04d]

Salut,

l'adresse du wiki sur les applications du lemme de Baire a changé, c'est désormais :

http://baire.homelinux.org

Ciao,
renebaire

[invite2c3ff3cc]

Bonjour à tous,

je me suis récemment posé la question suivante: existe-t-il des espaces de Baire non complet (en particulier le théorème de Baire ne serait qu'une implication)??
Si vous avez des suggestions,


cordialement.

N'importe quel espace (localement) compact non métrisable ([0;1]^[0;1] par exemple)

[God's Breath]

N'importe quel espace (localement) compact non métrisable ([0;1]^[0;1] par exemple)

Tu ne pourras y arriver comme cela : tout espace localement compact est de Baire.

Si tu relis les posts précédents : ]-1,1[, muni de la métrique usuelle, est homéomorphe à R, donc de Baire (propriété topologique conservée par homéomorphisme), mais n'est pas complet (propriété de la structure uniforme, non conservée par homéomorphisme.

Par contre il existe sur ]-1,1[ une métrique compatible avec la topologie usuelle, et pour lequel il est complet : il suffit de transporter celle de R par homéomorphisme, par exemple d(x,y)=|tan(pi.x/2)-|tan(pi.y/2)l.

Si tu veux un espace de Baire, dont la topologie est métrisable, mais n'est compatible avec aucune structure d'espace métrique complet, c'est plus difficile.
Tu peux trouver ça dans les exercices de N. BOURBAKI, Topologie Générale, Paris, Hermann, chap. IX.

[invitec053041c]

Vous savez pourquoi une suite de Cauchy ne peut en général pas aller aux soirées no limit ?

[invite4ef352d8]

Salut !

les espaces compact ou localement compact sont de baire, sans forcement etre métrique (et donc sans forcement etre complet) (ce n'est pas completement trivial, personnellement j'ai vu cela en tant que "théorème de baire" qui disait que les espaces complet, compact et localement compact était de baire... le cas compact est juste un peu plus facile que le cas complet, mais pas beaucoup...)


sinon un ouvert d'un espace de baire et encore de baire, et il n'est ni complet ni compact. (si jammais ce que je viens de dire est faux, c'est au moins vrai dans le cas des ouvert d'un espaces complet qui sont de baire) de meme un espace de baire privé d'un nombre dénombrable de point est encore de baire, et il n'est lui non plus ni complet ni compact...

Vous savez pourquoi une suite de Cauchy ne peut en général pas aller aux soirées no limit ?

euh... le videur lui dit "désolé, mais c'est complet" à l'entré ?

[invitec053041c]

euh... le videur lui dit "désolé, mais c'est complet" à l'entré ?

C'est bien ça .