Coniques en coordonnées polaires

Bleyblue · 19/07/2006 - 12h46

Bonjour,

Je suis occupé à travailler sur un projet qui vise à me faire découvrire les coniques en coordonnées polaires. Ca se présente comme ça :

Soit F un point fixe (le foyer) et d une droite fixe (la directrice) du plan. Soit e un nombre > 0 (l'excentricité) et soit C l'ensemble des points P du plan tels que :

$\frac{|PF|}{|Pd|} = e$

1) Si F occupe l'origine et si la directrice à pour équation (en coordonnées cartésiennes) x = q je dois montrer (dessin à l'appui) que

$r = e(q - r.cos \theta)$
$(r,\theta)$ sont les coordonnées polaires du point P

Bon, ça c'est facile, par contre le point 2) me pose problème

2)En convertissant l'équation polaire obtenue en 1) en coordonnées cartésiennes, montrer que la courbe C est une ellipse si e < 1

En coordonnées cartésiennes ça me donne :

$\sqrt{x^2 + y^2} = e(q - x)$

mais avec ça je fais quoi moi ? Je n'arrive pas à relier cette équation à la définition de l'ellipse. D'autre part cette ellipse n'est pas forcément centrée en (0,0) donc je ne peux pas supposer que son équation prendra la forme très simple :

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Avez-vous une indication à donner ?

merci

rvz · 19/07/2006 - 12h54

Salut Bleyblue,

Tout d'abord, l'équation que tu obtiens, on a envie de l'élever au carré.
Ensuite, le fait qu'on ne soit pas centré, je dirai qu'on s'en soucie peu : Le maître mot est changement de repères.

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rvz

Bleyblue · 19/07/2006 - 13h02

Ah oui c'est vrai ça tiens, il suffit de faire une substitution ...
Je vais voir

merci

Bleyblue · 19/07/2006 - 13h19

Comme ça :

x² + y² = e²(q² + x² - 2qx)
x²(1 - e²) + 2e²qx + y² = (eq)²

(comme 1 - e² > 0) :

$(x\sqrt{1 - e^2} + \frac{qe^2}{\sqrt{1 - e^2}})^2 + y^2 = (eq)^2 + \frac{q^2e^4}{1 - e^2}$

En posant $X = x\sqrt{1 - e^2} + \frac{qe^2}{\sqrt{1 - e^2}}$

$X^2 + y^2 = \frac{e^2.q^2}{1 - e^2}$

Un cercle

?

merci

rvz · 19/07/2006 - 13h24

Oui, un cercle, mais dans les coordonnées X,y ! Ce qui correspond bien à une ellipse dans les coordonnées x,y. En fait, tu trouves cettes forme si simple parce que dans ton changement de repère, tu effectue une homothétie en plus de la translation.
si tu veux que ce soit plus clair, regarde plutot en X/ racine(1-e^2), ce qui correspond juste à une translation.
Autre remarque, mais sans grande importance : En général, pour ce genre de calcul, on pose 1-e^2 = a^2. Ca simplifie un peu l'exposition des calculs.

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rvz

ericcc · 19/07/2006 - 13h27

Attention cependant à traiter proprement le cas e=1. Tu n'as que e>0 comme hypothèse

Bleyblue · 19/07/2006 - 13h32

Ah oui d'accord ...

En fait j'ai vu en détail comment centrer une conique d'équation cartésienne quelconque (ax² + by² + cx + dy + fxy = 0) en terminale mais j'ai oublié et d'ailleurs je trouvais ça difficile et on n'utilisait pas les coordonées polaires

merci

Bleyblue · 19/07/2006 - 13h35

Envoyé par ericc

Attention cependant à traiter proprement le cas e=1. Tu n'as que e>0 comme hypothèse

Oui ici je considère le cas e < 1
Je dois encore m'attaquer aux cas e = 1 et e > 1

merci

Cyp · 21/07/2006 - 22h36

rvz>je dirais même plus le maître mot c'est changement de repère orthonormé sinon il y a quelques chtits problèmes... Et on vient d'en avoir la preuve :d:d
++ Cyp