2 exos interessants

[invitec7b3f097]

Bonjour,

Voici deux exercices interessants:

1/ Arithmetique:
Montrer que pour k>2 entier, le nombre 2^(2^k-1)-2^k-1 est compose.

2/Geometrie:
Soit un cercle de centre O. Soit l une droite. Soit A la projection orthogonale de O sur l.
Soient les points B,C sur l tels que AB=AC.
Par B et C on mene deux secantes au cercle: la premiere le coupe en P et en Q, la seconde le coupe en M et en N.
Les droites (PM) et (QN) coupent l en R et en S. Montrer que AR=AS

Bonne reflexion
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[invite9e95248d]

c'est quoi un nombre composé ?

[invitec7b3f097]

Un nombre qui n'est pas premier.

[invitee520f70a]

dans le premier exos on n apas besoin d aoir k>2 il suffirait d avoir k>1 et de remplacer k-1 par k dans l equation
il suffit ensuite de factoriser par 2^k et de s appercevoir que ce nbre s ecrit 2^k*(2^(2^k-k)-1) et donc produit de deux entiers
pour ce qui est du second exos l enonce est comme d habitude faux
ex: avec un cercle assez grand on pourrait construire des droites // secantes au cercle de telle maniere que (pm) et (qn) soient //


Suis-je Amour ou Phebus? Lusignon ou Biron?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e95248d]

hum il me semble que le -1 en a la fin de l'énoncé 1) n'est pas multipliquer par quoique ce soit et tu sembles l'avoir oublier dans ta preuve
Ceci dit comme il est tard c'est peut etre moi qui fatigue ^^

[invite3f53d719]

Lu, heu, je me souviens que l'on peut factoriser 2^k - 1. Quelqu'un sait-il comment?

[invite37968ad1]

si k est premier, c'est parfois impossible (ces nombres là sont des générateurs intéressants de nombres premiers)
Si k = np, on peut factoriser par 2^p - 1; En effet 2^k- 1 s'écrit alors Xⁿ - 1 qui se factorise en (X - 1)(X^n-1 +X^n-2 + ... + 1) avec X = 2^p

Mais je ne sais pas si c'est utile ici

[invitec7b3f097]

"second exos l enonce est comme d habitude faux"
Ben vas-y, exhibe un contre-exemple

[Quinto]

"ces nombres là sont des générateurs intéressants de nombres premiers"

Les fameux nombre de Mersenne

[invite3f53d719]

Mais je ne sais pas si c'est utile ici

Effectivement, je n'arrive à rien . C'est chiant l'arithmétique, on sait jamais dans quelle direction chercher . Peut être le petit théorème de fermat...

Eric

[invitec12706a7]

Moi j'aime bien l'énoncé du sujet: "2 exo intéressants" ou comment que je vends mes devoirs sur internet sans en avoir l'air... cela dit, le premier est pas mal

[invitec7b3f097]

Tu crois vraiment que j'ai ca a faire en devoir ???

[Quinto]

Je crois que c'est plutot un truc des olympiades ou quelque chose du genre qu'un devoir ...

[invite90610aa0]

est-ce que I est sécante avec le cercle???
les droites menées par B et C sont elles perpendiculaires à I???
A étant un point de I,n'y-a-t'il pas une infinité de points B et C tels que AB=AC,y compris des B et C qui ne coupent pas le cercle???
que de questions sans réponses...

[invitec7b3f097]

"est-ce que I est sécante avec le cercle???"
Ca n'a pas d'importance

les droites menées par B et C sont elles perpendiculaires à I???
Ca n'a pas d'importance tant qu'elles sont secantes au cercle (non tangentes)

"A étant un point de I,n'y-a-t'il pas une infinité de points B et C tels que AB=AC,y compris des B et C qui ne coupent pas le cercle???"
Ben A est fixe !

[invitec7b3f097]

Bon, je poste les solutions des deux exos:

1/
Soit a(k)=2^(2^k-1)-2^k-1.
Pour k pair, on verifie aisemant que 3 divise a(k).
Classons les nombres impairs dans les ensembles (d'intersection non nulle) suivant:
- Les nombres de la forme 4m+1
- Les nombres de la forme 8m+3
- Les nombres de la forme 16m+7
etc

Soit k un entier de la forme 2^(n+1).m+2^n-1.
Montrons que q=2^2^n+1 divise alors a(k).
On considere toutes les egalites modulo q:
D'abord, 2^2^n=-1.
Par suite:
-2^k=-2^(2^(n+1).m+2^n-1)=-2^(2^(n+1).m).2^(2^n-1)
=-(-1)^(2m).2^(2^n-1)=-2^(2^n-1),

2^(2^k-1)=2^(2^(2^(n+1).m+2^n-1)-1)=2^(2^n-1).2^(2^(2^(n+1).m+2^n-1)-2^n)
=2^(2^n-1).(2^2^n)^(2^(2^(n+1).m+2^n-n)-1)=-2^(2^n-1).

D'ou a(k)=-2^(2^n-1)-2^(2^n-1)-1=-q=0, CQFD.


2/
Soient les symmetriques M',P',Q',R' les symmetriques de M,P,Q,R par rapport a (OA).
Comme le symmetrique de C par rapport a (OA) est B, (P'Q') passe par C.
On a facilement les egalite d'angles (de droite) suivants:
(CS,NS)=(Q'Q,NQ)=(Q'P',NP')=(C P',NP') et (CR',P'R')=(MM',P'M')=(MN,P'N) =(CN,P'N).

De ces egalites on en deduit que C,N,P',S,R' sont cocycliques. Comme S,R',C sont alignes, S=R'.
D'ou le resultat.

[prgasp77]

On considere toutes les egalites modulo q:
D'abord, 2^2^n=-1.
Par suite:
-2^k=-2^(2^(n+1).m+2^n-1)
=-2^(2^(n+1).m).2^(2^n-1) (1)
=-(-1)^(2m).2^(2^n-1) (2)
=-2^(2^n-1),

2^(2^k-1)=2^(2^(2^(n+1).m+2^n-1)-1)=2^(2^n-1).2^(2^(2^(n+1).m+2^n-1)-2^n)
=2^(2^n-1).(2^2^n)^(2^(2^(n+1).m+2^n-n)-1)=-2^(2^n-1).

D'ou a(k)=-2^(2^n-1)-2^(2^n-1)-1=-q=0, CQFD

Je ne comprend pas comment tu passe de (1) à (2). Quelqu'un pourait m'expliquer ?

[invitec7b3f097]

-2^(2^(n+1).m).2^(2^n-1)
=-(-1)^(2m).2^(2^n-1)

Car:
-2^(2^(n+1).m)=-2^(2^n.2m)=-(2^2^n)^(2m)=-(-1)^(2m).

[prgasp77]

Oui, en effet.
Merci.

[invite980a875f]

Salut,
je vais peut-être dire une grosse bêtise, mais es-ce que ce serait envisageable de rédoudre le premier exercice par récurrence? :confused:

[prgasp77]

On considere toutes les egalites modulo q:

2^(2^k-1)=2^(2^(2^(n+1).m+2^n-1)-1)
=2^(2^n-1).2^(2^(2^(n+1).m+2^n-1)-2^n) (3)
=2^(2^n-1).(2^2^n)^(2^(2^(n+1).m+2^n-n)-1) (4)
=-2^(2^n-1).

D'ou a(k)=-2^(2^n-1)-2^(2^n-1)-1=-q=0, CQFD.

Encore desole, je ne comprend pas l'egalite (3) <-> (4).

Salut,
je vais peut-être dire une grosse bêtise, mais es-ce que ce serait envisageable de rédoudre le premier exercice par récurrence?

Pourquoi pas, mais ca risque d'etre tres long non ?