Définition d'un Treillis ...

[LocalStone]

Bonjour,
Alors voilà, je cherchais quelque chose à propos du binaire et je me suis emballé et je me retrouve à potasser un article sur l'algèbre de Bool dans Wikipedia. Et de fil en aiguille, je tombe sur les treillis ...
Et d'où la question suivante ... C'est quoi exactement un treillis. Enfin j'ai lu et compris la définition ... Mais j'arrive pas à trouver d'exemple ni à comprendre à quoi ça sert. Donc si quelqu'un peut me vulgariser un peu tout ça , ce serait sympa !
Merci beaucoup !
L.S.

[rvz]

Bonjour,

Je ne connaissais pas la définition avant de lire la page wikipédia, mais il me semble que c'est assez naturel, et ça me rappelle même quelques vagues souvenirs.

En fait, quand tu considères un ensemble muni d'une relation d'ordre, si ta relation d'ordre est totale, ce n'est pas très intéressant. Mais si elle n'est que partielle, tu aimerais bien pouvoir comparer deux éléments.

Par exemple, considère les entiers positifs, et tu dis a $ b si a|b. Tu peux vérifier sans mal que c'est une relation d'ordre. Cependant, ce n'est pas un ordre total. Tu n'as ni 2|3 ni 3|2, mais tu as quand même que 2|6 et 3|6.
En fait, si tu prends a et b deux entiers, tu vas t'apercevoir que c$a et c$b implique c$pgcd(a,b) et a$m et b$m implique ppcm(a,b)$m. En gros, le treillis peut être considéré comme un ensemble similaire à N, où tu peux définir pgcd et ppcm.

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rvz, with his famous handmade signature, Guyem _tm

[martini_bird]

Salut,

j'ajoute juste que le mot pour treillis est lattice dans la langue de Shakespeare (attention, le même mot désigne également un réseau).

http://mathworld.wolfram.com/Lattice.html

Cordialement.