nombres complexes algebriques

[alovesupreme]

bonjour,

Dans le fil sur les racines cinquiemes de l'unité on se demandait ce qu'est une expression algébrique d'une racine d'un polynome à coefficient réel.
Je pense que par définition on peut dire qu'une racine d'un polynome à coeff réels est algébrique.
Ma question est la suivante: qu'en est il de la prtie réelle d'une telle racine? si oui quel polynome annule t il et sinon un contre exemple serait bienvenu.

cordialement

[GuYem]

Une racine d'un polynome à coefficients réel n'est pas algébrique.

Algébrique ça veut dire : racine d'un polynome à coefficient entier.

Exemple : Pi est transcendant (ie pas algébrique) et pourtant c'est la racine de X-Pi qui est un polynome à coeff réels !

Pour la deuxième question, je n'ai pas trop saisi.

[martini_bird]

Salut,

Algébrique ça veut dire : racine d'un polynome à coefficient entier.

D'accord avec ça (quoiqu'on puisse étendre les coefficients aux rationnels).

Je pense que la question de alovesupreme est : la partie réelle d'un nombre algébrique est-elle algébrique ?

Comme les nombres algébriques forment un corps, il suffit de démontrer que si z est algébrique, il en est de même de . Mais la conjugaison est compatible avec l'addition et la multiplication, donc le résultat tombe tout de suite.

Cordialement.