Critère de Cauchy et complétude de R

[Gpadide]

Bonjour, je bloque sur un raisonnement depuis un moment :
Si on considere la suite réelle u_n= somme des 1/k, pour k allant de 1 a n, on obtient que :
|(u_n+1)-(u_n)|=1/n+1 qui tend vers 0.
u_n est donc de Cauchy donc, R etant complet, elle converge. Or on sait que ce n'est pas vrai !
Merci de m'aider a trouver mon erreur (je pense que j'ai conclut un peu trop vite que u_n est de cauchy mais en l'ecrivant ca me semble rigoureux)

[erik]

Salut,

Reprend la définition d'une suite de Cauchy.

Si Un était de Cauchy alors quelque soit e>0 on aurait à partir d'un certain rang N, |Up-Uq|<e, quelques soient p et q >N (et pas seulement pour p=n et q=n+1 comme tu le fait).

Il te reste à montrer maintenant (avec la bonne définition) que Un n'est pas de Cauchy.

[Gwyddon]

Pour vérifier le caractère de Cauchy, il faut que ça tende vers zéro pour tout n et pour tout p supérieurs à un certain N. Or là, tu ne l'as vérifié que n et n+1 avec N=n0 fixé par la convergence de 1/(n+1)

Là est ton erreur, donc je te rappelle la définition d'une suite de cauchy :

[i] Une suite u_n est dite de Cauchy sur l'ensemble des réels si et seulement si pour tout , il existe un entier N tel que pour tout :

EDIT : et bah tout a déjà été dit par erik

J'en profite pour dire que la déf est équivalente à ce qu'on a en remplaçant le "pour tout " par "pour tout entier p" et "" par ""