Equation paramétrique ==> cartésienne ?

[Gucci-style]

Bonsoir, j'ai l'équation paramétrique d'une droite (D) :

x = 1 - 5k
y = 1 - 3k
z = k

Je voudrai savoir comment je pourrai obtenir une équation cartésienne de cette droite (D) car si je prends 1 point M(x; y; z) qui appartient à (D) et qu'ensuite j'ai le vecteur AM (x-1; y-1; z) et u (-5; -3; 1) et qu'après je pose
det (AM, u) = 0 je tombe sur un déterminant 3*2 ( 3 lignes 2 colonnes ) que je n'arrive pas à résoudre...

Merci d'avance.

[chris111]

Sauf erreur de ma part dans l'espace l'équation cartésienne d'une droite est donné par l'intersection de deux plans -> tu remplace k par z dans la première equation , idem pour la 2eme. Tu as tes deux equations de plan. L'intersection te donne la droite.

[Gucci-style]

C'est exact, dans l'espace une droite est l'intersection de deux plans.
Dis moi si ça va comme je fais :

système d'équation :
x' = 1 - 5z'
y' = 1 - 3z'

x' = 1 - 5z'
z' = (y' - 1) / -3

<=> x' = 1 - 5( (y' - 1) / -3 )

<=> x' - 5/3y' + 2/3 = 0 : (D)

[zpz]

C'est exact, dans l'espace une droite est l'intersection de deux plans.
Dis moi si ça va comme je fais :

système d'équation :
x' = 1 - 5z'
y' = 1 - 3z'

x' = 1 - 5z'
z' = (y' - 1) / -3

<=> x' = 1 - 5( (y' - 1) / -3 )

<=> x' - 5/3y' + 2/3 = 0 : (D)

C'est pas possible. Les équations de droites, ça n'existe pas dans l'espace. Comme tu le dis, pour définir une droite il faut la voir comme l'intersection de deux plans, qui, eux, admettent chacun une équation.

Du coup, une droite est définie par un système de deux équations. Celui que tu donnais au début convient très bien : x = 1 - 5z et y = 1 - 3z.

[homotopie]

Bonjour,
désolé de contrarier légèrement mais une équation cartésienne n'a a jamais été définie comme une équation linéaire.
Une droite dans l'espace (de dimension quelconque) admet des équations cartésiennes (un peu singulières mais ce n'est pas bien grave).

Ceci dit une fois que l'on a les équations de deux plans se coupant selon la droite concernée :
(P1) : ax+by+cz-d=0
(P2) : a'x+b'y+c'z-d'=0
une équation cartésienne de cette droite (tant qu'on est à coefficient réel) est par exemple :
(ax+by+cz-d)²+(a'x+b'y+c'z-d')²=0