Calcul de temps de vidange avec viscosité.

[Vin'Z]

Bonjour,

Je sais calculer le temps de vidange d'un réservoir (Cf l'exercice D) de cette page) si l'écoulement n'est pas visqueux.

Par contre, et c'est là que réside mon problème, je coince un peu quand je veux introduire un paramètre de viscosité.


Prenons l'exemple simple d'un écoulement dans un cylindre percé au fond.

Je suppose qu'il faut partir de l'équation de Navier-Stokes sur une ligne de courant allant de la surface (point A) jusqu'au fond (point B). Faire l'approximation d'un état quasi-stationnaire.

J'utilise la conservation du débit et le fait que (h étant la hauteur d'eau. C'est une fonction du temps).
De plus


L'ennui c'est que j'arrive sur une équation impasse pour moi car le terme m'empêche de supprimer le gradient (comparé au calcul du temps de vidange pour un fluide non visqueux).

J'obtiens une équation comme celle-ci :




Je peux considérer mon écoulement comme vertical et donc simplifier mon laplacier en dérivé seconde de la coordonnées z... Mais a partir de là je n'arrive pas à retrouver une équation en t = qqch. Pour calculer le temps de vidange.

Merci d'avance pour vos réponses.

[Vin'Z]

Ou alors, je n'aborde pas le problème de la bonne façon ?!