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Plan chargé,théorème de Gauss

  1. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Localisation
    Lyon
    Âge
    28
    Messages
    4 541

    Plan chargé,théorème de Gauss

    Bonsoir à tous.
    J'expose mon problème: j'aimerais trouver le champ électrique créé en tout point de l'espace par un plan (oxy) uniformément chargé (charge surfacique sigma).
    L'étude des symétries me permet de dire que ce champ est orthogonal au plan et ne dépend que de l'altitude z.
    Je sais qu'on peut faire des intégrales, mais j'aimerais utiliser le théorème de Gauss.
    J'ai mis un dessin en pièces jointes.
    J'ai un point M à altitude z, je prend comme surface de Gauss le parallépipède passant par M, de hauteur 2z, et de base carrée (hxh par exemple).

    Le flux sur les faces lattérales est nul car leur normale est orthogonale au flux.Le flux total est donc la somme du flux sur la face inférieure et du flux sur la surface supérieure, et celà doit etre égal à

    Et là horreur, rien ne dépend plus de z.Ca m'étonnerait bien que le champ soit uniforme dans l'espace .
    Pouriez-vous me dire où est mon erreur ? Car là ça me frustre...
    Merci beaucoup à vous.

    NB: j'ai oublié des pointillés sur le dessin, mais je pense que c'est clair quand même.

    -----

    Images attachées
    Cogito ergo sum.
     


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  2. PopolAuQuébec

    Date d'inscription
    février 2006
    Localisation
    Montréal, Québec
    Âge
    64
    Messages
    1 448

    Re : Plan chargé,théorème de Gauss

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Et là horreur, rien ne dépend plus de z.Ca m'étonnerait bien que le champ soit uniforme dans l'espace .
    Pouriez-vous me dire où est mon erreur ? Car là ça me frustre...
    Merci beaucoup à vous.
    Salut,

    Il n'y a pas d'erreur, avec une telle distribution de charge le champs électrique est uniforme. On peut le voir plus simplement avec la forme différentielle de la loi de Gauss:



    En dehors du plan chargé, on a donc :



    Comme tu l'as dit, par symétrie le champs est orienté dans la direction . Par conséquent :



    Donc ne dépend pas de
     

  3. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Localisation
    Lyon
    Âge
    28
    Messages
    4 541

    Re : Plan chargé,théorème de Gauss

    Merci beaucoup pour cette réponse!
    Honnêtement ça m'en bouche un coin...!
    Cogito ergo sum.
     

  4. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 539

    Re : Plan chargé,théorème de Gauss

    Ca provient du fait que ton plan est infini. Difficile de se mettre loin d'un plan infini, alors le champ ne peut décroître.
     

  5. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Localisation
    Lyon
    Âge
    28
    Messages
    4 541

    Re : Plan chargé,théorème de Gauss

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Ca provient du fait que ton plan est infini. Difficile de se mettre loin d'un plan infini, alors le champ ne peut décroître.
    Oui c'est vrai.Mais pour une droite infinie, c'est aussi dur d'en être loin non?
    Mais bon je pense voir ce que vous dites.
    En tout cas merci pour la réponse.
    Cogito ergo sum.
     


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  6. deep_turtle

    Date d'inscription
    mai 2004
    Localisation
    Pontcharra
    Âge
    46
    Messages
    10 702

    Re : Plan chargé,théorème de Gauss

    Mais pour une droite infinie, c'est aussi dur d'en être loin non?
    Excellente remarque !

    Dans le cas du plan, chaque partie du plan située à une distance r donne une contribution en 1/r2, mais d'un autre côté cette partie est un petit anneau dont la surface augmente comme r2, et ça se compense.

    Ce n'est pas le cas pour la droite !
    Dernière modification par deep_turtle ; 17/06/2007 à 22h04.
    « D'avoir rejeté le néant, j'ai découvert le vide» -- Yves Klein
     

  7. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Localisation
    Lyon
    Âge
    28
    Messages
    4 541

    Re : Plan chargé,théorème de Gauss

    Citation Envoyé par deep_turtle Voir le message
    Excellente remarque !

    Dans le cas du plan, chaque partie du plan située à une distance r donne une contribution en 1/r2, mais d'un autre côté cette partie est un petit anneau dont la surface augmente comme r2, et àa se compense.

    Ce n'est pas le cas pour la droite !
    D'accord !
    Merci .
    Cogito ergo sum.
     


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