Transformation de Legendre

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai récemment appris que l'on pouvait passer d'une fonction d'état avec un ensemble de variables à une autre fonction d'état avec un autre jeu de variables, décrivant le même système, grâce à la transformation de Legendre.

J'ai cependant du mal à voir le lien entre la première fonction d'état et celle que l'on obtient par la transformation.

Dans l'exemple de wikipédia, on a . Puis par une transformation de Legendre, on obtient .

Mais quel est le rapport entre les deux fonctions d'état U et H, ou de façon plus générale, quel est le lien entre une fonction d'état et sa transformé ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

[Aekold]

Bonjour,

Mais quel est le rapport entre les deux fonctions d'état U et H, ou de façon plus générale, quel est le lien entre une fonction d'état et sa transformé ?

H est une fonction d'état, tu peux donc calculer sa differentielle exacte.

ici dH=dU+p.dV+V.dp

Et ensuite tu remplaces dU par ta définition.

D'ailleur tu retrouve la meme chose pour le passage du Lagrangien à l'Hamiltonien. La transformation de Legendre sert surtout à changer les variables avec lesquelles on veut travailler.

[Seirios]

La transformation de Legendre sert surtout à changer les variables avec lesquelles on veut travailler.

Oui mais justement, en effectuant cette transformation et donc en changeant les variables avec lesquelles on travaille, qu'obtient-on ? Parce qu'on obtient une expression qui calcul autre chose dans les deux cas, non ?

[Aekold]

Oui mais justement, en effectuant cette transformation et donc en changeant les variables avec lesquelles on travaille, qu'obtient-on ? Parce qu'on obtient une expression qui calcul autre chose dans les deux cas, non ?

Oui et non, si tu regarde la dimension de l'enthalpie, tu verra qu'il s'agit toujours d'une énergie. La plupart du temps, on utilise ces fonctions car elles ont un sens plus pratique, en thermo, on utilisera l'enthalpie car l'on a plus facile de mesurer la pression et le volume plutot que de calculer l'entropie, en mécanique annaltique, on préferera utiliser l'hamiltonien car il permet d'obtenir des équa diff du premier ordre et l espace de phase de façon plus commode qu'avec les équations de Lagrange.

[Duke Alchemist]

Bonjour,

Comme tu l'as indiqué, les transformations de Legendre permettent de passer d'une fonction d'état à une autre en changeant les variables d'état (notamment les variables d'état conjuguées)

ex :
dont la variation infinitésimale s'écrit :

Si on ne considère, comme travail, que celui des forces de pression et (d'après le second principe)
soit :

Maintenant, si on veut une fonction d'état qui soit fonction de p (variable d'état conjuguée de V) et S, il suffit de faire "apparaître" la différentielle du produit des deux variables conjuguées (le but étant de faire disparaître le )
On obtient alors
Cette fonction X n'est rien d'autre que la fonction d'état enthalpie H.
Ainsi

De même, à partir de H, on peut définir la fonction d'état enthalpie libre G(p,T) (très utilisée si si ! ).

On retranche
On a :
d'où

On peut s'amuser longtemps comme ça : retrouver l'énergie libre F(V,T) = U - TS... De même, le travail peut être d'origine électrique...

En espérant t'avoir été utile malgré tout,
Duke.

PS : [MODE_MP_phys2=ON] Je ne retrouve plus les documents promis sur les nombres quantiques ... mais je cherche encore [MODE_MP_phys2=OFF]

[mamono666]

Comme le dit Aekold, c'est parce que c'est pratique. Lors d'une transformation d'un "corps" qui garde un volume constant, on aura dU=Q .

Mais on peut se demander ce que l'on a si la pression est constante. Par exemple pour certaines réaction chimique, on aura comme pression imposé: la pression atmosphérique.
d'ou l'introduction de l'enthalpie qui vérifira: dH=Q

ainsi de suite...pour les transformation isotherme (l'air environnent peut etre considéré comme un thermostat par exemple) alors l'energie libre sera plus pratique.

Chacun des potentiels thermodynamique est donc rapporté à différentes variables:
U -> S et V
H -> S et P
F -> V et T

il ne manque plus que P et T attribué à l'enthalpie libre G