Vitesse de libération d'un satellite.

[bolltt]

Bonjour tout le monde,
Le physicien est toujours confronté à des problèmes. Voici le mien:

Un satellite de masse m est lâché par une fusée de lancement en dehors de l'atmosphère (altitude z > 15 km) avec une vitesse initiale . On désire que ce satellite puisse échapper à l'attraction terrestre. En admettant qu'en dehors de l'atmosphère, les frottements sont négligeables et, en écrivant la conservation de l'énergie mécanique du système satellite + Terre, la Terre étant supposée immobile, déduire la valeur minimum à donner à v0 pour que le satellite puisse s'éloigner définitivement de la Terre. Le rayon de la terre vaut RT = 6400 km, on prendra g = 10 m.s-2 comme valeur du champ de pesanteur.

Ps: comment faites vous pour aborder ce genre de problème. Je trouve que la question est ouverte?

[bolltt]

Tout d'abord,
je calcule l'énergie mécanique. On sait que c'est la somme de Ep+Ec
Ec=1/2m*v²
pour Ep, je dis que f=-grad Ep
or F=-GmMt/RT²*ur
d'où Ep=-GmMt/RT+cte on prend Ep(R->+00) d'où Ep=-GmMT/Rt
Em=-GmMt/RT+1/2mv0² on sait que Em =cste car les forces appliquées à notre système sont des forces conservatives. Mais le problème est que j'ai du mal à trouver cette constante.
Si on suppose que -GmMt/Rt+1/2mv0²=0 après j'en déduis Vo mais je ne sais pas si Em=cste =0?

[deep_turtle]

Salut,

On considère que le bolide s'est échappé de l'attraction terrestre s'il peut aller jusqu'à l'infini, c'est-à-dire là où l'énergie potentielle de pesanteur est nulle. L'énergie mécanique est alors positive.

Il faut que tu détermines la vitesse minimale pour que Em>0. ça revient à ce que tu as fait !

[bolltt]

En fait je voulais savoir comment on ecrit cette équation -GmMt/RT+1/2mv0² =cte comment je determine cette constante est égale à zero? or cette constante c'est Em. Je crois que je m'exprime mal?

[deep_turtle]

Cette expression, c'est l'énergie mécanique, en effet, par définition. Elle a une propriété essentielle : elle est conservée pour le mouvement que tu considères.

ça veut dire que ce Em a la même valeur tout le temps, quand tu lances le bolide, plus loin dans sa trajectoire, ou même quand son éloignement tend vers l'infini. Or tu veux qu'à l'infini, Em soit positif (car c'est la somme de l'énergie potentielle qui vaut zéro tout là-bas et de l'énergie cinétique qui est positive). Comme Em est constant, il soit aussi être positif au moment où on le lance.

Je réponds à côté ?

[bolltt]

Desolé c'est de ma faute, je me suis mal exprimé. Bon je recommence:
Em = Ep+Ec
Em = -GmMt/RT+1/2mv0² on sait que Em est une constante car la force centrale est une force conservative.
Maintenant on veut isoler V0 pour trouver la vitesse. Donc on va écrire une équation du genre -GmMt/RT+1/2mv0²=0. Quand on écrit cette équation est zéro, cela signifie qu'on suppose que Em = cste = zéro. Je voulais savoir comment on sait que cette constante est zéro et non pas un réel quelconque.
Voyez-vous mon problème?

[alien49]

Bonjour,

en fait on veut que le satellite puisse s'éloigner à l'infini, hors à l'infini l'énergie potentielle est égale à une constante (prise nulle ici), et l'énergie cinétique est positive ou nulle.
L'énergie mécanique qui est bien une constante doit donc être positive ou nulle pour que le satellite puisse aller à l'infini. Dans le cas où il a une vitesse nulle à l'infini (ce qui est un cas limite difficilement concevable, puisque cela correspond à s'arrêter à l'infini), on a donc Em = 0.

[bolltt]

desolé je ne comprends plus rien

[alien49]

desolé je ne comprends plus rien

désolé je vais essayer de reprendre plus clairement.

On a bien Em = -GmMt/d+1/2mv² = cte = -GmMt/RT+1/2mv0²
où d représente la distance à la terre et v la vitesse du satellite. Cette relation est valable à tout instant.
En particulier à l'infini, ceci ce simplifie en Em = 1/2mv² >= 0. Pour que le satellite puisse aller à l'infini, il faut donc cte >= 0. On se place donc dans le cas limite où cte = 0.

(En fait on peut montrer que pour un tel système, si Em < 0 le mouvement est elliptique et donc borné, si Em=0 le mouvement est parabolique, si Em > 0 le mouvement est hyperbolique.)

[bolltt]

mais nous on veut un mouvement circulaire non vu que le satellite aura tendance à tourner autour de la terre? en tous cas merci pour ton éclairage

[alien49]

mais nous on veut un mouvement circulaire non vu que le satellite aura tendance à tourner autour de la terre? en tous cas merci pour ton éclairage

non justement on cherche la vitesse de libération du satellite, c'est-à-dire, comme tu le dis toi même dans le premier post, que l'on veut que le satellite puisse aller à l'infini : il n'a alors plus un mouvement circulaire ou elliptique (puisque par définition pour un tel mouvement la distance maximale qu'atteint le satellite est bornée).

[zoup1]

mais nous on veut un mouvement circulaire non vu que le satellite aura tendance à tourner autour de la terre? en tous cas merci pour ton éclairage

Non, quand on parle de vitesse de libération, il n'y a plus de trajectoire circulaire qui tienne... en fait pour la vitesse de libération c'est à dire pour la plus petite vitesse pour que le satellite puisse aller à l'infini, la trajectoire est une parabole.

[Ouk A Passi]

Bonjour,

A l'attention de Bollt qui semble confondre mise en orbite et vitesse d'évasion:

La vitesse de libération

[bolltt]

en fait si je comprends bien on résoud l'équation est égale à zero car le mouvement de notre satellite est parabolique? Imaginons que c'était élliptique, dans ce cas on aurait du résoudre l'équation est inférieure à zero?
Je voulais ainsi savoir comment on sait que Em < 0 le mouvement est elliptique? Merci

[zoup1]

On peut paramétrer l'équation de la trajectoire par l'énergie mécanique du système et par son moment cinétique.
Dans tous les cas la trajectoire est une conique (pour le problème à 2 corps en interaction avec une force en 1/r^2)
Il se trouve que :
si Em<0 alors la trajectoire est une ellipse
si Em=0 la trajectoire est une parabole
si Em >0 la trajectoire est une hyperbole