[L2] Opérateur d'inertie d'un quart de disque.

Tidus1188 · 04/03/2008 - 23h45

Bonsoir.

Je suis actuellement en train de bûcher sur l'exercice 1 du sujet de 2003 du concours Deug CCP de Mécanique II.
Celui-ci : http://ccp.scei-concours.org/html/de...a_partie_2.pdf

J'ai répondu à la 1ère question rapidement. Je mets ici ce que j'ai écrit :

1) Soit la masse élémentaire :

$dm = \mu .e.dS$

Avec $\mu$ la masse volumique du quart de disque et $e$ l'épaisseur de celui-ci.

En passant par les coordonnées polaires je pose dS :

$dS = r.dr.d\theta$

Ainsi :

$M = \int dm = \mu .e. \iint dS = \mu .e. \iint r.dr.d\theta = \mu .e. \int_0^a r.dr. \int_0^{\pi /2}d\theta = \frac{\mu .e.\pi .a^2 }{4}$

Je pense que j'aurai pu dire immédiatement que l'aire d'un disque c'est $\pi .r^2$ et donc le quart c'est $(\pi .r^2 )/4$ mais pas grave.

Pour l'instant c'est bon ?

2) Ensuite pour la 2) j'ai une partie de l'énoncé qui me dérange. En effet ils disent que e est négligeable face à a. C'est à dire que dans les éléments diagonaux de l'opérateur je pourrai virer z ?

http://www.enregistrersous.com/image...0304234133.jpg
Et les produits d'inertie, il ne faut pas que je les annule non ?

Dans ce cas je dois réécrire x, y et z dans des coordonnées cylindriques ?

Merci d'avance !

Tidus1188 · 04/03/2008 - 23h52

Ou dois-je dire que z = e/2 ?

Tidus1188 · 05/03/2008 - 00h07

Envoyé par Tidus1188

Ou dois-je dire que z = e/2 ?

Oubliez ça.

Tidus1188 · 05/03/2008 - 00h33

Personnellement je dirai que z est un plan de symétrie et donc j'annule deux produits d'inertie. Sur mon image, il resterait A, B, C et F.
Seulement je suis tombé sur ce rapport :
http://ccp.scei-concours.org/html/de...ca%20ecrit.pdf

D'après ce que je comprend ils stipulent que les produits d'inertie ne sont pas nuls. Ou alors je comprend mal et qu'ils voulaient dire "pas tous" ?

Tidus1188 · 05/03/2008 - 13h44

S'il vous plaît.

Tidus1188 · 05/03/2008 - 18h03

Personne ne peut m'aider ?

Tidus1188 · 05/03/2008 - 20h38

Ledescat · 05/03/2008 - 21h03

Salut.

Pour la masse, pas besoin d'intégrer quand même ! Suffit de multiplier masse volumique par volume

.

Vu que (0,x,y) est plan de symétrie, tu as bien D=E=0.

Le fait que l'épaisseur e soit négligeable devant l'objet, je le comprends comme le fait qu'il faille considérer ton objet comme une surface et non plus un volume, d'élément $dm=\mu .e.dS$

Tidus1188 · 05/03/2008 - 21h36

C'est bien ce que je pensais !
Je vais donc bidouiller tout ça et je montrerai ma réponse ici !

Merci !

Tidus1188 · 06/03/2008 - 17h32

Voilà ce que je propose pour la 2), du moins le début :

Je dis qu'il y a un plan de symétrie z=0, et que donc D=E=0. Il ne reste donc à calculer A, B, C et F.
Vite fait je remarque que $A = \int x^2.dm$ que $B = \int y^2.dm$ et que $C = \int x^2 + y^2 dm$ donc C = A+B. Tout ça car je prends z=0 en supposant que e est négligeable.

Et enfin $F = \int xy.dm$ .

Pour l'instant est-ce correct ?

Ensuite j'ai calculé les primitives en posant : $x = r.Cos\theta$ et $y = r.Sin\theta$ et $dm = \mu .e.dS = \mu . e .r.dr.d\theta$ .

Je donnerai mes réponses après avoir eu une réponse.

Ledescat · 06/03/2008 - 19h37

Salut.

Ca a l'air correct, juste un conseil pour t'éviter à avoir intégrer du cos² et sin²: tu remarques facilement que A=B, donc 2A=2B=A+B (qui te fait apparaître cos²+sin²=1)

EDIT: en fait c'est louche ça: $A=\Bigint x^2 dm$ , car A c'est $\Bigint( y^2+z^2)dm$

(et x² n'est pas égal à z²+y², tu n'as pas une configuration de Pythagore !)

Tidus1188 · 10/03/2008 - 11h12

Oui pardon je me suis embrouillé !

C'est $A = \int {y^2.dm}$ et $B = \int {x^2.dm}$ et $C = A+B$ .

J'ai intégré pour A et B et j'ai trouvé :

$A = \int{y^2.dm} = \mu .e.\int {r^2 .Sin^2 (\theta ).dS} = \mu .e.\int_0^a {r^3} .\int_0^{\pi /2}.{Sin^2 (\theta ).d\theta} = Ma^2 /2$

De la même manière mais au lieu de Sin j'ai Cos pour B :

$B = Ma^2 /4$

Et donc :

$C = 3Ma^2 /4$

Est-ce possible ?

Tidus1188 · 10/03/2008 - 18h03

Euh j'ai fait une erreur je trouve :
A = Ma²/4
B = Ma²/4
C = Ma²/2
F = Ma²/2

Est-ce possible pour un quart de disque ?

Ledescat · 10/03/2008 - 19h46

Envoyé par Tidus1188

Oui pardon je me suis embrouillé !

C'est $A = \int {y^2.dm}$

Si tu pars de formules fausses, tu arriveras nécéssairement à des résultats erronés.
Tu as $A=\Bigint_{disque} d^2 dm$
où d représente la distance d'un point du disque à l'axe (0x). Tu as donc d²=y²+z² (tu le vois sur un dessin).

Donc $A=\Bigint (y^2+z^2)dm$

(je t'avais pourtant répété la formule 2 posts avant.. et tu n'as pas forcément des relations du genre C=A+B ou que sais-je)

Tidus1188 · 10/03/2008 - 19h54

Oui mais j'ai pris z=0 puisque c'est un plan de symétrie. Non ?

[L2] Opérateur d'inertie d'un quart de disque.

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