impulsion et energie en mecanique quantique

gatsu · 16/12/2004 - 18h31

bonjour,

j'aimerais savoir d'ou vient l'expression que l'on donne respectivement à l'operateur impulsion et energie en mecanique quantique, c'est à dire: existe t il une demonstration des relations:

$p=-i\frac{h}{2\pi}\frac{d}{dx}$ (à une dimension)

et $E=i\frac{h}{2\pi}\frac{d}{dt}$

merci d'avance pour vos reponses

Rincevent · 16/12/2004 - 18h47

pour avoir un élément de réponse à base d'équation d'onde et de relation de De Broglie, regarde là :

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_quantique

neutrinoman · 16/12/2004 - 18h57

En mécanique quantique, à mon avis, rien ne vaut un Cohen-Tanoudji

. Si tu es motivé tu y trouveras tout (vraiment tout). Bon je pense que ça ne t'aide pas beaucoup, mais bon

j.yves · 16/12/2004 - 20h15

Le lien que donne Rincevent est très bien mais je tente quand même une réponse indépendante car la question est importante. Les relations que tu donnes traduisent simplement les relations $p=\hbar k$ entre l'impulsion de la particule et le nombre d'onde de l'onde (de Broglie), et la relation $E=\hbar \omega$ entre l'énergie de la particule et la pulsation de l'onde (hypothèse de Planck).
Est-ce que ta question porte sur l'origine des relations que je viens d'écrire, ou sur leur lien avec celles que tu as écrites, ou les deux?

chaverondier · 16/12/2004 - 22h17

Envoyé par gatsu

bonjour, j'aimerais savoir d'où vient l'expression que l'on donne respectivement à l'opérateur impulsion (à une dimension) et énergie en mécanique quantique $P=-i\frac{h}{2\pi}\frac{d}{dx}$ et $E=i\frac{h}{2\pi}\frac{d}{dt}$

En ignorant le problème de normalisation, considérons la fonction d'onde $\psi = e^{i kx - i\omega t}$ d'une particule sans spin de nombre d'onde k et de pulsation $\omega$ . Selon les relations de Planck De Broglie, elle possède une impulsion $p = \hbar k$ et une énergie $\epsilon = \hbar \omega$ , si bien que :

$p \psi = \hbar k e^{i kx - i\omega t} = -i\hbar\frac{d}{dx} \psi$

et

$\epsilon \psi = \hbar \omega e^{i kx - i\omega t} = i\hbar\frac{d}{dt} \psi$

Définissons maintenant

* l'observable impulsion $P$ comme étant un opérateur linéaire sur l'espace des états de notre particule vérifiant la relation $P \psi = p \psi$ lorsque la particule possède une impulsion $p$

* l'observable H (Hamiltonien) comme étant un opérateur linéaire sur ce même espace d'états vérifiant la relation H $\psi = \epsilon \psi$ lorsque la particule possède une énergie $\epsilon$

Si la particule est maintenant dans un état $\psi$ quelconque, décomposons $\psi$ en série de Fourier $\psi = \Sigma\lambda_{\epsilon p} e^{i kx - i\omega t}$

alors, par linéarité

$P \psi = \Sigma\lambda_{\epsilon p} p e^{i kx - i\omega t} = -i\hbar\frac{d}{dx} \psi$

et de même

$H \psi = i\hbar\frac{d}{dt} \psi$

Bernard Chaverondier

j.yves · 16/12/2004 - 22h41

Evidemment, une question plus intéressante, c'est pourquoi on écrit les relations $p=\hbar k$ et $E=\hbar\omega$ . L'une se déduit de l'autre, si on impose que la vitesse de groupe de l'onde $v=d\omega/dk$ coïncide avec la vitesse de la particule classique, car celle-ci est donnée en toute généralité par $v=dE/dp$ . Du coup on déduit la relation de de Broglie à partir de celle de Planck et vice-versa.

humanino · 17/12/2004 - 00h52

Ah ben oui c'est une question importante

je veux donner encore une reponse alternative parce que tout le monde sait mon gout pour la contreverse en la matiere (ainsi qu'une discussion precedente)m'enfin j'assume

(D'aileurs, voire MathWorld)

Envoyé par gatsu

$p=-\imath\hbar\frac{\par}{\par x}$
$E=i\hbar\frac{\par}{\par t}$

Une vision des postulats de la mecanique quantique :

les grandeurs observables sont representees par des operateurs (hermitiens) que l'on remarque parce qu'ils portent un chapeau : $\hat{O}$
Ceux-ci agissent sur des vecteurs (complexes, unitaires) qui sont les etats possibles du systeme et qui semblent mysterieux parce qu'on utilise des lettres bizarres pour les representer telle : $|\psi\rangle$
Ce troisieme point est specifiquement "contreversable" : une regle de correspondance, permettant de passer du crocher de Poisson au commutateur : $\{A,B\}_{ \mbox{Poisson~classique} }= \frac{1}{ \imath \hbar } [ \hat{A} , \hat{B}]_{ \mbox{Commutateur~quantique} }$ .

(la raison de ma preference pour cette formulation, plus abrupte au depart, est qu'en fait elle simplifie (je trouve) les choses en MQ et permet une transition "lisse" vers la theorie quantique des champs. Bref.)

Donc regardons les deux operateurs les plus simples :

$\hat{X}|\psi\rangle=x|\psi\ran$
$\hat{D}|\psi\rangle=\frac{\par }{\par x}|\psi\ran$

(on devine que ce x est la position, mais peu importe a ce stade)

Calculons donc leur commutateur :
$[\hat{D},\hat{X}]|\psi\ran=\hat{D}(x|\psi\ran)-\hat{X}(\frac{\par}{\par x}|\psi\ran) =\frac{\par}{\par x}(x|\psi\ran)-x\frac{\par}{\par x}|\psi\ran=|\psi\ran + x\frac{\par}{\par x}|\psi\ran -x\frac{\par}{\par x}|\psi\ran = |\psi\ran$
d'ou l'on deduit :
$[\hat{D},\hat{X}]=\hat{1}$
Or on connait le crochet de Poisson de $x$ et $p$ : $\{x,p\}_{ \mbox{Poisson~classique} }=1$
d'ou l'on deduit qu'il suffit de representer $\hat{P}$ par $\hat{P}=-\imath\hbar\frac{\par}{\par x}$ si l'on avait choisi de garder $x$ comme observable dont depend la fonction d'onde : $\hat{X}|\psi\rangle=x|\psi\ran$

(la verite est toujours un petit peu plus subtile...)

Ben oui mais je n'ai que la premiere relation me direz-vous. Je ne nie pas que cette approche est tout a fait contestable. Comment suggerer que l'autre relation doit venir naturellement ? En invoquant la relativite et les quadrivecteurs $(E,p)$ et $(t,x)$ .

Ceci bien entendu n'est aucunement une demonstration. Cela permet de deviner la seconde relation, cela suggere les relation d'Einstein-deBroglie, mais seule l'experience est juge au final de leur validite.