[Prépa-Electrocinétique] Etude d'un circuit RC

[Gogol]

Bonjour,

J'ai un devoir de physique a rendre pour dans quelques jours et je suis bloqué ... Il s'agit de l'étude d'un circuit RC.

Ci-joint, l'exercice sur lequel je bloque. Les question 1.1 et 1.2 ont été faite aisément.

Je coince à la question 1.3.1 :
- Primo, je ne comprends pas d'où sort l'équation différentielle : d²s/dt + 3/T ds/dt + s/T² = 0
- Secundo en remplacant s(t) = E(1-e^(-t/T)), je n'arrive pas à trouver 0 mais E/T² * (1+e^(-t/T)).

De plus pour la question 1.3.2, je n'arrive pas à trouver l'expression de s(t), il me reste deux inconnues.

Un coup de main serait donc le bienvenu. Je ne cherche pas uniquement à obtenir les réponses mais bien de comprendre comment arriver à ces réponses.

Merci d'avance a ceux qui oseront m'accorder un peu d'aide

[stefjm]

Je coince à la question 1.3.1 :
- Primo, je ne comprends pas d'où sort l'équation différentielle : d²s/dt + 3/T ds/dt + s/T² = 0

Si vous connaissez les fonctions de transfert en jw, c'est facile de trouver S/E. (pont diviseur de tension)
puis, posez jw=p
Ecrivez la relation précédente donnant S en fonction de E
Un produit par p correspond à une dérivée temporelle.
Vous aurez donc votre équation différentielle.
(Franchement, je ne vois pas pourquoi e(t) n'intervient pas dans la solution donnée.)

La méthode n'est pas orthodoxe, mais c'est la plus efficace. (et j'ai oublié toutes les autres)

[Gogol]

Bon eh bien je sais pourquoi on nous la donne : je n'ai pas encore vu ca

Et pour la suite alors une petite idée ou bien rien du tout ?

[pephy]

bonjour,
en principe on ne passe pas par le régime sinusoïdal et les complexes pour trouver l'équation différentielle d'un régime transitoire.
Pour traiter le 2e circuit il faut procéder comme pour le premier, en introduisant une variable annexe u= tension aux bornes du 1er condensateur.
Il est commode de choisir une intensité i dans ce condensateur et i1 dans le second.
Il faut exprimer u, puis du/dt en fonction de s et de ses dérivées;on constante qu'à la fin du calcul e(t) s'élimine

[trimidi]

Salut

effectivement tu ne peux pas utiliser les notations complexes vu que tu es en transitoire. De plus on n'est meme pas en régime alternatif donc non. Ecris la loi des noeuds: la somme des 2 courants dans les 2 branches à droite ne doit pas te poser de problème. Pour le courant dans la branche du haut, utilise le condensateur en écrivant [i= C d(V2(t)-s(t))/dt] (1) avec V2 le potentiel en amont du condo et en aval de la résistance. Tu as donc i=i1+i2 exprimé avec seulement des tensions. Le problème est d'exprimer V2 avec des variables exploitables. Tu as la relation E-Ri=V2. Tu injectes donc cette expression dans (1)puis tu remplaces i par la somme des courants dans les 2 branches en les exprimants selon les tensions du condo et de la resistance. Tu poses tau=RC et magie tu retombes sur l'équation à retrouver
@+

[stefjm]

bonjour,
en principe on ne passe pas par le régime sinusoïdal et les complexes pour trouver l'équation différentielle d'un régime transitoire.
Pour traiter le 2e circuit il faut procéder comme pour le premier, en introduisant une variable annexe u= tension aux bornes du 1er condensateur.
Il est commode de choisir une intensité i dans ce condensateur et i1 dans le second.
Il faut exprimer u, puis du/dt en fonction de s et de ses dérivées;on constante qu'à la fin du calcul e(t) s'élimine

J'aime bien le "en principe".

Depuis un certain Laplace qui ne date pas d'hier, on dispose d'une transformée qui fonctionne pour tout signaux causaux. Du coup, il est inutile de s'embêter à rerésoudre les équations diff linéaires à coeff constant qui sortent en physique, électronique, etc...

R: R
C : C.p
R//C :
R série C série (R//C) :

On peut calculer le courant I=E/l'expression précédente.
puis on peut calculer

En écrivant

On en déduit l'équa diff si on la veut vraiment. (en fait, on ne la veut jamais, sauf à l'école!)
*p en transformée de Laplace correspond à d/dt en temporel. (pas de régime sinus, mais comme Laplace n'est pas très connu, il est pratique de passer par des fonctions de transfert en jw avant de passer en p...)


Au passage, je confirme l'erreur dans la solution proposée dans l'énoncé : de/dt intervient dans l'équation différentielle!

PS : Je n'ai pas tenu compte des conditions initiales puisqu'elles sont posées nulles dès le départ mais la méthode permet d'en tenir compte.

PPS : Evidement que ce n'est pas une méthode taupinale "bourine", c'est une méthode efficace...

Edit : croisement Trimidi. Comment se fait-il que vous perdiez le RC de/dt avec votre méthode? Je ne vois pas où j'ai pu faire une erreur et cela m'agace!

[pephy]

J'aime bien le "en principe".

Depuis un certain Laplace qui ne date pas d'hier, on dispose d'une transformée qui fonctionne pour tout signaux causaux. Du coup, il est inutile de s'embêter à rerésoudre les équations diff linéaires à coeff constant qui sortent en physique, électronique, etc...
On en déduit l'équa diff si on la veut vraiment. (en fait, on ne la veut jamais, sauf à l'école!)

bonjour,
ben oui , mais en prépa il faut faire avec les moyens connus des étudiants à un certain niveau d'études. Et çà ne leur fait pas de mal d'étudier les régimes transitoires.

Au passage, je confirme l'erreur dans la solution proposée dans l'énoncé : de/dt intervient dans l'équation différentielle!

mais comme e(t)=E constante pourquoi s'embêter avec de/dt ??

PPS : Evidement que ce n'est pas une méthode taupinale "bourine", c'est une méthode efficace...

cf plus haut
@+

[stefjm]

Bonjour,

bonjour,
ben oui , mais en prépa il faut faire avec les moyens connus des étudiants à un certain niveau d'études. Et çà ne leur fait pas de mal d'étudier les régimes transitoires.

Je ne suis plus au courant de ce qui se fait ou ne se fait plus en prépa aujourd'hui. J'ai juste entendu parler d'une baisse de niveau.

mais comme e(t)=E constante pourquoi s'embêter avec de/dt ??

Pour deux raisons.
1) Le e(t)=E n'est donné que pour l'execice 1 et il faut deviner qu'il s'applique à l'exercice 2.

2) si e(t)=E, y compris pour les temps négatifs, il est incohérent de dire que les condensateurs ne sont pas chargés à l'instant initial, puisqu'ils le sont! (puisque e(t)=E depuis toujours...)

Il est clair que l'auteur du sujet a oublié ce détail!
Il aurait du écrire e(t)=E.h(t), où h(t) est la fonction de Heaviside, nulle pour t négatif et unitaire pour t positif.
Du coup, on voit bien qu'il vaut mieux ne pas oublier l'entrée e(t) et cela fait apparaitre la dérivée d'un échelon, ie un dirac à t=0.

Dur dur en prépa, mais ce n'est pas une raison pour ne pas être rigoureux.

[pephy]

Je ne suis plus au courant de ce qui se fait ou ne se fait plus en prépa aujourd'hui.

Il aurait du écrire e(t)=E.h(t), où h(t) est la fonction de Heaviside, nulle pour t négatif et unitaire pour t positif.
Du coup, on voit bien qu'il vaut mieux ne pas oublier l'entrée e(t) et cela fait apparaitre la dérivée d'un échelon, ie un dirac à t=0.

Re
je vous invite à consulter les programmes officiels des CPGE sur le site du ministère.On peut ne pas les aimer, mais les profs sont tenus de les respecter.
Il manque effectivement un interrupteur pour le 2e exo.

Dur dur en prépa, mais ce n'est pas une raison pour ne pas être rigoureux.

si vous saviez ce que l'on peut lire dans la prose des étudiants!

[stefjm]

Re
je vous invite à consulter les programmes officiels des CPGE sur le site du ministère.On peut ne pas les aimer, mais les profs sont tenus de les respecter.

Les profs dans leur classe en France sans doute, mais pas les intervenants internationaux qui s'expriment en français sur Futura...

Il manque effectivement un interrupteur pour le 2e exo.

Et il faudra qu'on m'explique l'intérêt de poser e(t) dans l'énoncé pour ensuite le réduire à e(t)=E.
Quant-à l'oubli de l'interrupteur, si j'étais étudiant, je poserais la question suivante à propos de l'escamottage du de/dt :
Comment fait-on pour dériver une fonction non continue en zéro?
Cela devrait appeler des réponses intéressantes.

si vous saviez ce que l'on peut lire dans la prose des étudiants!

Et dans celles des enseignants!
(surtout dans les livres...)

[Gogol]

La méthode qui me semble la plus proche du cours et la plus aisée a comprendre est celle de trimidi. Seulement je bloque au moment d'utiliser le potentiel en V2, je ne comprends pas la démarche et je pense avoir un soucis.

J'arrive a une équa diff : 0= RC d²(s(t))/dt² + C d(s(t))/dt + d(s(t))/dt + s(t)/R

[stefjm]

La méthode qui me semble la plus proche du cours et la plus aisée a comprendre est celle de trimidi. Seulement je bloque au moment d'utiliser le potentiel en V2, je ne comprends pas la démarche et je pense avoir un soucis.

J'arrive a une équa diff : 0= RC d²(s(t))/dt² + C d(s(t))/dt + d(s(t))/dt + s(t)/R

Erreur de calcul car résultat non homogène!
RC : temps
Le premier terme est homogène à S.
Il manque R dans le second.
Il manque RC dans le 3ième.
Il y a 1/R en trop dans le 4ième.

plus toutes les erreurs de calculs qui font intervenir des nombres sans dimensions. (3=2+1)

@+

[trimidi]

Tu as du te tromper, comme le dit stefjm tout ca n'est pas trop homogène. Lorsque tu réinjectes E-Ri dans la dérivée tu ne considères plus que -RI (on suppose que E est constant). Ce I se décompose en C ds/dt +s/R. Tu obtiens donc pour le premier membre de l'égalité: Cd(V2-s)/dt= C d(E-RI-s)/dt= -CR dI/dt - C ds/dt= -CR d[C ds/dt + s/R]/dt - C ds/dt. L'autre membre de l'égalité tu l'obtiens facilement (si tu ne vois pas de quelle égalité je parle cf mon post + haut), tu devrais facilement retomber sur tes pattes.
@+

[Gogol]

Merci bien Seulement, autre petite question, je n'arrive pas a voir comment on a i = C d(V2(t)-s(t))/dt.

Le potentiel V2 est bien le potentiel entre le condensateur et la résistance en série( -----|==|--V2--||---) ? On fixe bien le potentiel de la ligne du bas a 0?

[stefjm]

Merci bien Seulement, autre petite question, je n'arrive pas a voir comment on a i = C d(V2(t)-s(t))/dt.

Re.
Le truc, pour ne pas tourner en rond consiste à savoir où l'on va. (Lapalice.)
Dans ce type de circuit, les grandeurs importantes sont les variables dites d'états, ie les tensions des condensateurs et les courants des bobines. C'est donc par là qu'il faut commencer.

Ici, pas de bobines, juste des condensateurs.

Je note i le courant fourni par le géné, ir le courant dans la résistance, ic le courant dans le condo.

relation du condo.
relation de la résistance.
loi de noeud.
loi de maille.

C'est tout! Soit un système diff 4 équations 4 inconnues.
Il y a plein de méthodes sympas et automatiques pour résoudre ce type de système. Je pars du principe que vous ne les connaissez pas.

Le truc, dans ce cas, consiste à dériver la loi de maille.

Remplacer i en utilisant la loi de noeud, puis remplacer ir et ic en utilisant les deux premieres équations. (C'est ce qu'à du vous dire Trimidi)

Si je le fais pour vous, je vous donne la solution et suis hors chartes!

PS: Pour le de/dt, il vaut 0 pour t>0+. En t=0, mieux vaut ne pas demander ce qui se passe!

PPS: Je préfère la première méthode que je vous avais donnée. Cette méthode là s'apparente à du masochisme.( à moins d'être en prépa.) (Sauf si on sait résoudre matriciellement les systèmes d'équations diff linéaires à coeff constants, et qu'on met en équation automatiquement.)

Le potentiel V2 est bien le potentiel entre le condensateur et la résistance en série( -----|==|--V2--||---) ? On fixe bien le potentiel de la ligne du bas a 0?

Personnellement, je ne sais pas ce qu'est un potentiel. Je ne manipule que des différences de potentiels.