Problème d'optique MPSI

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Bonjour à tous,

Mon prof m'a donné un exo pas évident mais sympa et je ne sais pas si nous allons revenir dessus en classe, donc j'aimerai bien le comprendre pendant les vacances.


Voici l'exo :

Soit une fibre optique à gradient d'indice : . Elle est éclairée par un faisceau incliné d'angle .
Voici un schéma pour les notations : http://www.imagup.com/imgs/1225457568.html

1. En utilisant des couches minces, montrer que .

2. En déduire que le long du rayon .


Pour la 1 ca va a peu près mais je veux bien que vous m'expliquiez pour être sur.

Pour la 2 je ne réussis pas à me débarasser du i(r), enfin si j'y arrive mais je n'obtient pas l'équa diff proposée (elle est deux fois plus longue et au moins 10 fois plus compliquée).
Pour simplifier les choses, j'avais pensé à dire que ("petits" angles) mais ca ne fait pas beaucoup avancer les choses.
Je trouve le resultat logique (solution de l'équa diff : on obtient pour r en fonction de z une fonction en cosinus, ce qui est logique pour une telle fibre optique), mais j'ai du mal à l'établir.

Si vous pouvez m'éclairer .

Merci d'avance.
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[lpeg]

Bonjour, voilà un petit moment que je réfléchis à ton problème et j'ai l'impression qu'il y a une erreur...

1. En utilisant des couches minces, montrer que .

Il est facile de démontrer la constance en utilisant les lois de Snell-Descarthes sur des couches minces. En effet :



Là où pour moi il y a problème c'est pour la deuxième partie de ton égalité... Pour moi on a :




d'où



Voilà... Dis moi ce que tu en penses.

[lpeg]

Je continue...







Au revoir.

[lpeg]

Re.

2. En déduire que le long du rayon .

Je pense qu'il y a également une erreur ici ...

J'ai réussi à trouver un résultat pour le 2) : ton idée d'utiliser la tangente est bonne mais tu ne peux pas supposer les angles petits puisque i varie qu'en même un peu...

alors tu poses :



Voilà je te laisse finir...

[A voir en vidéo sur Futura]