Theorie des groupes pour physiciens !

[LoicM]

1 et 2 c'est la même chose sauf que 1 c'est le langage mathématicien tandis que 2 c'est le langage des physiciens.

Je vais pinailler, mais 1) pour moi c'est l'application (le morphisme) d'un groupe dans l'autre, 2), c'est l'image par cette application. Il est vrai que ce qui intéresse le physicien c'est 2), mais comme on en est à éclaircir le vocabulaire pour comprendre ce qu'on lit, j'ai trouvé utile de comprendre cette distinction.

[mariposa]

Je vais pinailler, mais 1) pour moi c'est l'application (le morphisme) d'un groupe dans l'autre, 2), c'est l'image par cette application. Il est vrai que ce qui intéresse le physicien c'est 2), mais comme on en est à éclaircir le vocabulaire pour comprendre ce qu'on lit, j'ai trouvé utile de comprendre cette distinction.

Tout à fait juste.

Il y a à gagner en clarté en parlant comme les mathématiciens (ne serait-ce que pour discuter avec eux). A contrario le physicien doit pouvoir gérer son temps et trouver un vocabulaire efficace pour les applications. C'est la raison pour laquelle le langage mathématique des physiciens diverge inévitablement de celui-ci des mathématiciens.

[invité576543]

Bonjour,

Quand on réalise que parmi les représentations d'un groupe quelconque, il y a nécessairement le groupe d'un seul élément {Id}, on voit tout l'intérêt d'avoir le morphisme en tête, et surtout le fait que le morphisme peut être surjectif.

Sinon, on risque de tomber dans la confusion entre la représentation d'un groupe, et une manière de construire un groupe qui soit une instance du groupe abstrait.

On peut s'interroger avec l'exemple donné:

Pour sortir des généralités prenons un exemple: le triangle équilatéral qui est l'objet M. Celui est invariant selon 6 transformations qui définit le groupe C3v.
.
Une representation de ce groupe est donc un jeu quelconque de 6 matrices de dimension n (n entier quelconque par exemple 114).

Pourquoi 6 matrices? Pourquoi les chiffres 1, 2 et 3 ne sont pas cités? Limiter l'indication à 6 encourage la vision d'une représentation comme un isomorphisme entre le groupe et la représentation, ce qui n'est pas la définition; c'est seulement un morphisme, et il peut être surjectif.

Cordialement,

[mariposa]

Pourquoi 6 matrices? Pourquoi les chiffres 1, 2 et 3 ne sont pas cités? Limiter l'indication à 6 encourage la vision d'une représentation comme un isomorphisme entre le groupe et la représentation, ce qui n'est pas la définition; c'est seulement un morphisme, et il peut être surjectif.

Cordialement,

6 matrices parceque 6 éléments dans le groupe C3v: l'identité E, rotation de 120°, rotation de 240°, et les symétrie par rapport a une bissectrice passant par chaque sommet.
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Exemple d'une matrice: la rotation de 120° fait passer 1 en 2 ; 2 en 3 et 3 en 1 ce qui défini une matrice 3.3 composée de 0 ou de 1; désolé je ne sais pas dessiné des matrices (nul en latex, mais toi tu sais faire).
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Tu fais cette procédure pour les 5 autres transformations et tu as 6 matrices " 3.3
;
Donc dans ce cas la representation R sera un ensemble de 6 matrices 3.3 dont les éléments de matrices sont des 1 ou des zéros. En pratique, dans le contexte de la MQ on part d'un ensemble de fonctions d'un espace de Hilbert. Si cet espace est de dimension 7 on aura alors 6 matrices de dimension 7.

[Rincevent]

6 matrices parceque 6 éléments dans le groupe

pas par définition d'une représentation.... comme le rappelle mmy, il existe une représentation triviale dans laquelle chaque élément du groupe est associé à la "matrice" identité... une représentation linéaire est un homomorphisme vers un groupe des matrices, pas un isomorphisme...

ps: désolé, j'ai juste lu la fin : ce fil est trop long

pps: et à me relire je réalise que je me contente de redire la même chose qu'mmy et rien de plus...

[mariposa]

pas par définition d'une représentation.... comme le rappelle mmy, il existe une représentation triviale dans laquelle chaque élément du groupe est associé à la "matrice" identité... une représentation linéaire est un homomorphisme vers un groupe des matrices, pas un isomorphisme...

pps: et à me relire je réalise que je me contente de redire la même chose qu'mmy et rien de plus...

J'ai expliqué dans un post précedent que la seule representation que l'on peut trouver sans calculs étaient les representations identités. Je n'insiste pas sur l'homomorphisme pour une raison fondamentale de pédagogie car cette vision dans une période d'apprentissage induit des erreurs graves. je m'explique.
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En insistant sur l'homomorphisme les gens voient des flèches qui partent des éléments du groupe et qui pointent vers une unique matrice unité. C'est parfaitement vrai mais cette vision est accessoire. Je m'explique:
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Il est important de representer les tables de caractère d'un groupe sous la forme de lignes. A chaque ligne correspond une representation irréductible d'un groupe. A chaque colonne correspond une classe. Notamment la representation irréductible triviale est en premi're ligne et se presente comme une suite de 1 (autant qu'il y a de classes). On met donc chaque classe en correspondance avec une matrice 1.

Cette vision là indispensable est bien plus importante que l'homorphisme. Pourquoi? parceque l'on effectue des produits de lignes autrement dit des produits de representations irréductibles dont certains donneront la ligne representation triviale. C'est pourquoi il est indispensable de voir la representation triviale comme un vecteur ligne. (voir théorème de grande orthogonalité pour comprendre le fond des choses). L'homomorphisme suggére une vision éronnée de la representation triviale. D'ailleurs l'homorphisme signifie un relachement d'une contrainte (celle de l'isomorphisme) mais ne joue aucun rôle actif dans la théorie de representation des groupes. L'homomorphisme encombre la pensée sans apporter aucun éclairage. On peut donc le dire uniquement pour montrer que l'on n'est pas complètement ignorant en mathématiques.

[Rincevent]

On peut donc le dire uniquement pour montrer que l'on n'est pas complètement ignorant en mathématiques.

ou si on a une vision de tout ça un peu moins réductrice que la tienne...

la vision que tu présentes est la première que j'ai rencontrée... et franchement : ça m'a paru de la bouillie pour chats... perso, pour que je comprenne un concept mathématique, même dans le but de l'appliquer en physique, il faut qu'il me soit présenter clairement... sinon, je n'y vois pas des maths mais de la cuisine. Ce que tu présentes, c'est une cuisine qui marche dans pas mal de cas, mais qui ne permet absolument pas de prendre du recul sur le sujet...

et je dis ça sans aucune animosité ou agressivité, que les choses soient bien claires

pour faire court : y'a pas que les représentations irréductibles dans la vie...

[invité576543]

L'homomorphisme suggére une vision éronnée de la representation triviale. D'ailleurs l'homorphisme signifie un relachement d'une contrainte (celle de l'isomorphisme) mais ne joue aucun rôle actif dans la théorie de representation des groupes. L'homomorphisme encombre la pensée sans apporter aucun éclairage. On peut donc le dire uniquement pour montrer que l'on n'est pas complètement ignorant en mathématiques.

Amusant comme manière de montrer les choses.

Il ne s'agit en rien d'un "relâchement de contrainte". Il n'y a aucune contrainte à ce qu'une représentation fabrique le corps complet. Dans une représentation réductible on peut trouver des tas de sous-groupes, dont l'identité, et plusieurs fois.

Ne pas avoir en tête les représentations ou éléments de représentation correspondant à des sous-groupes amène à manquer des solutions.

Tu insultes, avec ta dernière phrase. Ce ne serait pas difficile de te répondre de même, mais je connais ta susceptibilité.

Cordialement,

Edit: Croisement, eu-je lu le message de Rincevent, j'aurais peut-être été plus posé...

[mariposa]

ou si on a une vision de tout ça un peu moins réductrice que la tienne...

la vision que tu présentes est la première que j'ai rencontrée... et franchement : ça m'a paru de la bouillie pour chats... perso, pour que je comprenne un concept mathématique, même dans le but de l'appliquer en physique, il faut qu'il me soit présenter clairement... sinon, je n'y vois pas des maths mais de la cuisine. Ce que tu présentes, c'est une cuisine qui marche dans pas mal de cas, mais qui ne permet absolument pas de prendre du recul sur le sujet...

et je dis ça sans aucune animosité ou agressivité, que les choses soient bien claires

pour faire court : y'a pas que les représentations irréductibles dans la vie...

A travers mon expérience de mon propre apprentissage et de ceux de mon voisinage j'ai constaté que ceux qui cherchaient a avancer en cherchant a comprendre linéairement les groupes étaient incapables d'appliquer quoi que ce soit. Du coup tout ce qui a été appris formellement s'envole au bout de quelque mois. Pour aggraver le problème mes collègues étaient polytechniciens et normalien Ulm. Ce ne sont pas des gens spécialement handicapés! De tout cela j'en ai tirer la conclusion qu'il fallait aller au plus vite aux applications et de retourner a des base au fur et à mesure des besoins. J'ai ainsi transformer ma réflexion en action pédagogique et notamment au DEA de physique de solide de Rennes. J'ai cru comprendre que les étudiants étaient plutot contents de ma façon "pragmatique" d'aborder les choses.
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Nota: Ce que je dis des groupes est encore plus valable pour la MQ. Il faut rapidement trouver des applications pour comprendre après coup les fondements. Pire la physique de la matière condensée est un joyeux bordel où il faut avaler des couleuvres avant d'émerger. Pour ne prendre qu'un exemple il ne faut pas longtemps pour s'apercevoir que les gens qui parlent de théorie des bandes dans les bouquins et polycops n'ont jamais fait un schéma de bandes dans leurs expériences profesionnels. Au passage le Kittel dernière version est toujours faché avec l'application des groupes à la théorie des bandes.
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Tu dis qu'il te faut que le concept mathématique te soit presenter correctement pour l'appliquer à la physique. Je comprend bien cette manière de voir, mais elle est "minoritaire". Les gens veulent comprendre la physique et savoir comment se servir des mathématiques. J'ai fait d'une catégorie de problème à N corps ma spécialité. Le problème c'est de comprendre ce qui se passe pour ensuite se donner les moyens techniques pour résoudre le problème. En physique de la matière condensée résoudre un problème de matière propre et déductive çà ne marche jamais. Il faut être capable de bricoler techniquement tous asimuths pour pouvoir travailler. D'ailleurs il est remarquable que la physique de la matière condensée est quasi-inexistante sur Futura, il y a certainement une raison à cela.

[mariposa]

Amusant comme manière de montrer les choses.

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C'est une vision de professionnel quand même.

Il ne s'agit en rien d'un "relâchement de contrainte". Il n'y a aucune contrainte à ce qu'une représentation fabrique le corps complet. Dans une représentation réductible on peut trouver des tas de sous-groupes, dont l'identité, et plusieurs fois.

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Les sous-groupes sont des sous-groupes de groupe, pas de representations.!

Une representation réductible d'un groupe ne possède pas de sous-groupes cela n'a pas de sens.
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Par contre une represention d'un groupe se décompose en representations irréductibles du sous-groupe.

Tu insultes, avec ta dernière phrase. Ce ne serait pas difficile de te répondre de même, mais je connais ta susceptibilité.

Dans ce cas je m'excuse tres sincèrement.

[invité576543]

Les sous-groupes sont des sous-groupes de groupe, pas de representations.!

C'est une manière rapide de parler, genre "de physicien" comme tu dis, pour parler de représentation non isomorphe. Une représentation (au sens morphisme ) surjective est toujours une représentation bijective d'un sous-groupe du groupe d'origine.

Je m'étonnes que tu n'ai pas compris par toi-même cette écriture elliptique. A moins que ce soit pour montrer une certaine rigueur sur ce point, rigueur non appliquée ailleurs?

Par contre une represention d'un groupe se décompose en representations irréductibles du sous-groupe.

Et ça veut dire quoi, ça? En toute rigueur, une représentation d'un groupe se décompose en représentations irréductibles du groupe. (Et chaque élément de la décomposition est une représentation d'un ou plusieurs sous-groupes du groupe.)

Cordialement,

[obi76]

Si ça continue ça va finir dans le forum maths (pataper)

[mariposa]

Si ça continue ça va finir dans le forum maths (pataper)

Justement pas. Je m'efforce d'enchasser la théorie des groupes dans la physique là où d'autres voudrait la tirer des mathématiques.
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L'enseignement de la théorie de representations des groupes en France est une catastrophe. La catastrophe d'ailleurs consiste souvent à l'ignorer.

[Gwyddon]

Bonsoir,

mariposa, tu présentes ta manière des choses, et c'est intéressant

Mais par pitié, arrête de croire que c'est l'unique façon de voir les choses, je trouve ça assez agaçant de lire un truc comme

Je m'efforce d'enchasser la théorie des groupes dans la physique là où d'autres voudrait la tirer des mathématiques.

On parle d'un truc mathématiques, on peut avoir une autre vision que la tienne et avoir aussi envie de la partager. Alors s'il te plaît, pourrais-tu avoir l'amabilité de respecter le point de vue des autres ?

Merci

[obi76]

ça me rappelle une autre discussion sur la "non rigueur" de la physique vis à vis des mathématiques utilisées.
Je resterai modeste, je ne comprend absolument rien à ce que vous dites (dans la mesure ou ça n'est pas DU TOUT mon domaine), mais la rigueur mathématique est - à mon sens - indispensable lorsque l'on a que ça pour se rattacher aux réalités physique.
En mécanique, voire même avec des mathématiques assez puossées (genre navier stockes etc), chaque manipulation que l'on fait signifie quelque chose physiquement.
Ici je vois difficilement comment, donc sans rigueur je ne pense pas que l'on puisse se permettre une quelconque manipulation des théorèmes, applications etc sans rigueur, puisque ce qui est négligeable et ce qui ne l'est pas n'est à mon avis, pas du tout intuitif.

Ne venez voir ici aucune leçon de morale (ni aucune leçon tout court d'ailleurs), étant loin de ce domaine je n'ai pas la prétention de vous dire comment il faut penser