Perturbation et seconde quantification

[Thwarn]

Bonjour,

je cherche à pratiquer la theorie des perturbations en seconde quantification, cad pas à calculer la variation d'energie du fondemental, mais à connaitre la correction de l'hamiltonien quand on traite la pertubation. Mais je n'arrive pas a trouver de doc dessus...
Et si jamais vous connaissez la formule des perturbations (stationnaires) à l'ordre deux dans le cas d'un fondamental dégénéré

Merci

[mariposa]

Bonjour,

je cherche à pratiquer la theorie des perturbations en seconde quantification, cad pas à calculer la variation d'energie du fondemental, mais à connaitre la correction de l'hamiltonien quand on traite la pertubation.

Je ne comprends pas ta question. Tu veux écrire un hamiltonien en seconde quantification,, non?

Et si jamais vous connaissez la formule des perturbations (stationnaires) à l'ordre deux dans le cas d'un fondamental dégénéré

Merci

C'est la même avec ou sans seconde quantification. La seconde quantification, au premier de gré c'est une autre manière d'écrire les éléments de matrice. Ce qu'il faut tenir compte est de ranger les opérateurs avec les annihilations à droite, donc faire des permutations en respectant les régles de non commutativité.

[Thwarn]

Voila ce que je cherche a faire :
j'ai un hamiltonien avec U l'interaction entre deux fermions sur le meme site i , s et s' le spin.
On se restreint au cas ou il n'y qu'un seul fermion par site dans le fondamental qui est tres degeneré (on peut mettre un spin up ou un spin down à chaque site).
S'ajoute une perturbation (de hopping entre les differents site avec t le terme de hopping.
Je cherche a savoir comment trouver que la variation d'energie est, en traitant V au second ordre, .
C'est une correction qui n'est valable que si il y a un fermion par site (et qui au passage est antiferro).
Mais comme tu le vois, c'est une correction qui va dependre de l'etat (ce n'est pas juste un comme dans la theorie des perturbation habituelle, mais bien l'approximation du hamiltonien au deuxieme ordre en V.
Ma question est, comment je trouve cette formule, vu que c'est du deuxieme ordre degeneré.

Merci

[Astérion]

Bonjour,

Tout ça sent le modèle de Hubbard-Mott dis-moi....
Une petite transition-métal isolant pour la route....

A plus.

[Thwarn]

Je regarde les termes de superexchange (l'article de Anderson dans les années 50).
Dans ce systeme, on a un isolant antiferro. Mais si quelqu'un pouvait me dire d'ou sort le terme d'ordre 2 svp...

[Astérion]

Bonsoir,

Mariposa a répondu à la question. Je vais essayer de développer le calcul:

Soit |0> l'état fondamental d'énergie nulle: un électron sur chaque site (spin alterné).



développons:



Je note |0_i,2_j> l'état où le site i n'a pas d'électron et le site j a 2 électrons.

D'où:



Les états mis en jeu dans l'expression précédente sont ceux d'énergie U dans l'hamiltonien non perturbé (1er état excité).
Le numérateur est non nul si i=i', j=j' et si les états sommés sont:

.

Ainsi:



Puis:



Voilà, j'espère ne pas avoir fait trop d'erreurs (il se fait tard )

Au revoir.

[Thwarn]

Merci de ton investissement
Par contre, la formule que t'utilises est celle du second ordre non-dégénéré (il est d'ailleurs tres dur d'en trouver une pour le cas degeneré, il n'y a pas dans le cohen par exemple (au second ordre)).
De plus, quand tu dis que i=i' et j=j', cela implique aussi s=s', ce qui ne donne pas le bon resultat (j'avais deja essayer d'appliquer cette methode).
Car en fait il y a deux phenomenes en competition : tout d'abord, il faut deux voisins avec un spin oppopsé |i :up, j:down>, ensuite la pertubation amene l'un d'entre eux |i :up down, j:0> et quand on applique une deuxieme fois la perturbation, il y a deux possibilités |i:up,j:down> ou |i:down,j:up> qui sont dégénérés.

[Astérion]

Merci de ton investissement
Par contre, la formule que t'utilises est celle du second ordre non-dégénéré (il est d'ailleurs tres dur d'en trouver une pour le cas degeneré, il n'y a pas dans le cohen par exemple (au second ordre)).
De plus, quand tu dis que i=i' et j=j', cela implique aussi s=s', ce qui ne donne pas le bon resultat (j'avais deja essayer d'appliquer cette methode).
Car en fait il y a deux phenomenes en competition : tout d'abord, il faut deux voisins avec un spin oppopsé |i :up, j:down>, ensuite la pertubation amene l'un d'entre eux |i :up down, j:0> et quand on applique une deuxieme fois la perturbation, il y a deux possibilités |i:up,j:down> ou |i:down,j:up> qui sont dégénérés.

Bonjour,

Il n'y a pas de restriction sur s et s' lorsque i=i' et j=j'.
Ensuite ton état fondamental est déjà avec des spins opposés sur chaque site.
Le fait de dire que les opérateurs création, annihilation soient antisymétriques permet de t'affranchir des états |i:up,j:down> et |i:down,j:up>:
On peut imaginer deux sites avec chacun un électron (spin opposé).
Ta fonction d'onde doit être antisymétrique:


Ensuite, l'état fondamental n'est pas dégénéré (il n'y en a qu'un) [voir la fonction d'onde dessus pour deux sites], ce qui veut dire qu'il n'y a pas d'états de même énergie (énergie nulle) appartenant à l'espace complémentaire. Tu peux appliquer la formule sans considérer la dégénérecence.

A plus.

[Thwarn]

Il n'y a pas de restriction sur s et s' lorsque i=i' et j=j'.

Euh, dans ce cas, je ne vois pas ce que tu as fait...
Tu pourrais refaire ce que tu as fait dans le message precedent, mais en notant explicitement les spins, stp.

Ensuite ton état fondamental est déjà avec des spins opposés sur chaque site.

Pas forcement, mon Hamiltonien non perturbé implique seulement qu'il y a un seul electron par site (up ou down),mais il ne selectionne en aucun cas un etat antiferro des le depart. Et meme si c'etait le cas, ce serait degeneré, on pourait echanger les spins sur le reseau.

Le fait de dire que les opérateurs création, annihilation soient antisymétriques permet de t'affranchir des états |i:up,j:down> et |i:down,j:up>:
On peut imaginer deux sites avec chacun un électron (spin opposé).
Ta fonction d'onde doit être antisymétrique:

Pas d'accord. Le numero du site n'a pas a etre antisymetrisé comme tu le fais. Car ce n'est pas le numero d'un electron. L'etat correspond a l'etat ou 1 et 2 correspondent a l'electron 1 et 2. Une fonction d'onde de fermion est antisymetrique par echange de deux particules. L'etat physique est tout à fait possible (sinon, comment ferais tu un ferro?)

Ensuite, l'état fondamental n'est pas dégénéré (il n'y en a qu'un) [voir la fonction d'onde dessus pour deux sites], ce qui veut dire qu'il n'y a pas d'états de même énergie (énergie nulle) appartenant à l'espace complémentaire. Tu peux appliquer la formule sans considérer la dégénérecence.

cf plus haut.

Au plaisir,

[Astérion]

Bonsoir,

Pas forcement, mon Hamiltonien non perturbé implique seulement qu'il y a un seul electron par site (up ou down),mais il ne selectionne en aucun cas un etat antiferro des le depart. Et meme si c'etait le cas, ce serait degeneré, on pourait echanger les spins sur le reseau.

Oui c'est vrai, j'ai parlé trop vite (je me dirige trop vite vers l'état final...sorry)

Pas d'accord. Le numero du site n'a pas a etre antisymetrisé comme tu le fais. Car ce n'est pas le numero d'un electron. L'etat correspond a l'etat ou 1 et 2 correspondent a l'electron 1 et 2. Une fonction d'onde de fermion est antisymetrique par echange de deux particules.

Oui, c'est vrai pardon j'ai abusé d'une notation à tort.

Par contre, la formule que t'utilises est celle du second ordre non-dégénéré (il est d'ailleurs tres dur d'en trouver une pour le cas degeneré, il n'y a pas dans le cohen par exemple (au second ordre)).

Oui mais elle est applicable en fait car ta perturbation est particulière.
Primo, elle n'est pas genre "spin flip", donc les espaces avec les états de même nombre polarisation (différence entre le nombre de spin up et le nombre de spin down) sont stables.
Deuxio, lorsque tu sommes sur tous les états (excepté celui où tu souhaites connaitre la perturbation), les éléments de matrice sont strictement nulle pour des états dégénérés à énergie nulle ; dans ce cas, la correction du deuxième ordre pour "des cas dégénérés" s'applique.

Euh, dans ce cas, je ne vois pas ce que tu as fait...
Tu pourrais refaire ce que tu as fait dans le message precedent, mais en notant explicitement les spins, stp.

On va reprendre depuis :



en ajoutant des termes venant du spin:



Les deltas expriment que les spins s et s' doivent respecter certaines conditions lorsqu'on "déplace" un spin d'un site i à un site j vis à vis de l'état fondamental ( le site i doit avoir le même spin que s et j doit avoir un spin opposé à s)

les brakets sont non nuls si i=j' et j=i':



s et s' respectent les mêmes conditions ; on peut réécrire le braket sous la forme:


Pour des raisons de réversibilité:


Voilà.

A plus.

[Thwarn]

ok, merci beaucoup, j'ai tout suivi!