Equation d'onde acoustique par la méthode d'Euler

Chandragon · 19/01/2009 - 19h32

Bonjour !
J'ai un gros soucis, dans un DM je dois redémontrer un résultat démontré en cours, sauf que le prof nous avait juste donné une photocopie avec la démo sans rien nous expliquer et je n'y comprend absolument rien !.
La démo sur la photocopie se déroule comme cela:

1/ il pose l'équation d'Euler: $(\mu_0 + \mu)(\frac{d\vec u}{dt} + (\vec u . \vec grad )\vec u ) = \vec f_r - \vec grad (P_0 + P)$
2/ ensuite il pose la compressibilité: $\chi_s = - \frac{1}{V} (\frac{dV}{dP})_S$
3/ puis la masse: $m = (\mu_0 + \mu) V$

3/ => $dm = 0$ => $\mu_0 dV + V d\mu + \mu dV = 0$
On néglige $\mu dV$ car d'ordre supérieur aux autres
=> $dV = - \frac{V}{\mu_0} d\mu$ (4)

(2) + (4) => $\chi_s = \frac{d\mu}{\mu_0 dP}$
+ (1) => $\mu_0 \frac{du}{dt} = - \frac{dP}{dx}$ ( projection sur la direction de propagation Ux )

Il y a 3 choses que je ne comprend pas:
1. qu'est-ce que $(\vec u . \vec grad )$ ? est-ce $(\vec grad (|| \vec u ||))$ ?
2. En quoi $\mu dV$ est-il d'un ordre supérieur aux autres ?
3. Comment il projette pour obtenir le résultat final ? xD

merci d'avance pour vos réponses

Chandragon · 19/01/2009 - 19h47

*désolé je viens de me rendre compte que je n'avais pas définit les variables et le temps pour éditer est écoulé ^^'*

u est la vitesse des particules au passage de l'onde, µ0 la masse volumique moyenne et µ son augmentation au passage de l'onde (il me semble). P0 la pression qui règne dans le milieu et P la surpression au passage de l'onde.

Sinon j'ai une 4e question ... qu'est-ce que $\vec f_r$ ?
La force exercée au moment du passage de l'onde ?

Rincevent · 19/01/2009 - 20h49

salut

quelques réponses :

Envoyé par Chandragon

1. qu'est-ce que $(\vec u . \vec grad )$ ? est-ce $(\vec grad (|| \vec u ||))$ ?

si tu as un vecteur V de composantes cartésiennes (X,Y,Z), alors (u grad)V a pour première composante $(u_x \partial_x X + u_y \partial_y X + u_z \partial_z X)$ . Idem pour les suivantes.

2. En quoi $\mu dV$ est-il d'un ordre supérieur aux autres ?

mu est petit devant mu_0 et est donc d'ordre 1. dV l'étant aussi, le produit des deux est d'ordre 2.

3. Comment il projette pour obtenir le résultat final ? xD

projeter veut juste dire ici garder la composante selon X... or si tu ne gardes que les termes du premier ordre, il te reste pas grand chose.

quant à la force, ça peut être n'importe quelle force supplémentaire agissant sur le fluide (par exemple la pesanteur). Mais ici elles doivent être négligées

Chandragon · 19/01/2009 - 21h18

Bonjour et merci pour vos réponses
par contre je ne comprend pas bien cela:

Envoyé par Rincevent

si tu as un vecteur V de composantes cartésiennes (X,Y,Z), alors (u grad)V a pour première composante $(u_x \partial_x X + u_y \partial_y X + u_z \partial_z X)$ . Idem pour les suivantes.

u_x, u_y et u_z sont les composantes de u dans la base cartésienne ?
si c'est le cas, vu que X est la composante de V et vu que dans mon cas j'ai $(\vec u . \vec grad )\vec u$ , j'obtiendrai:
$(\vec u . \vec grad )\vec u = (u_x^2 \partial_x + u_x u_y \partial_y + u_x u_z \partial_z) \vec x + ...$
?

Sinon j'ai tenté de projeter (1) selon x, mais je n'obtiens pas le résultat vu qu'il me reste le $\vec f_r$ dont je ne connais pas la composante selon x, et puis il y a tout ce qui provient du $(\vec u . \vec grad )\vec u$ qui ne disparait pas ... mais vu que je ne suis pas sûr au niveau de son expression ... ça reste énigmatique.

Chandragon · 19/01/2009 - 21h32

Hum ... ce que j'ai dit sur $(\vec u . \vec grad )\vec u$ ne colle pas ...
est-ce que $\partial_x$ signifie $\frac{\partial}{\partial x}$ ?
dans ce cas cela donnerait-il: $(\vec u . \vec grad )\vec u = ( u_x \frac{\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_x}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_x}{\partial z} ) \vec x + ...$ ?

Calvert · 19/01/2009 - 21h41

Si $\vec{x}$ représente pour toi le vecteur unitaire de base dans la direction x, alors, oui, ce que tu écris est correct !

Chandragon · 19/01/2009 - 22h16

D'accord, mais en projetant l'équation (1) j'ai encore des termes en trop :
Projection sur $\vec x$ :
$(\mu_0 + \mu )( \frac{\partial u_x}{\partial t} + u_x \frac{\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_x}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_x}{\partial z} ) = f_r_x - \frac{\partial P}{\partial x}$