Equation différentielle second ordre

[lechoufarci]

Bonjour à tous
J'ai un petit problème concernant la résolution d'une équation différentielle. La-voici :

On a :
d²v/dt² + Ω² v = -e/m dE/dt

avec v : vitesse d'un électron
Ω : pulsation
e : charge de l'électron
m : masse de l'électron
E : champ électrique

J'ai donc trouvé une solution de la forme :v= A exp(-i Ωt) + B exp(i Ωt).
Je souhaite déterminer A et B.
Les C.I donnent: à t=0, v=0. J'en ai alors déduit A=-B.

Après je bloque. J'ai essayé de dériver 2 fois le terme v que je trouve pour le replacer dans l'équation différentielle, mais les termes en A et B s'annulent et j'obtiens : -e/m dE/dt = 0 ce qui d'une n'est pas logique et de deux ne m'avance à rien.

Je ne vois pas comment déterminer A et B et je ne suis pas trop sûr de ma solution.
Je vous remercie par avance de votre aide.

[pepejy]

bonjour,

ok, pour v. il fallait bien dériver votre résultats, mais en utilisant la méthode de variations de la constante. v=A(t)cos(Ωt+phi) est un produit de fonction, donc tu reportes dans ton équa. diff.

BCNU

[lechoufarci]

ok mais le problème, c'est que l'énoncé me demande les solutions sous forme d'exponentielle complexe :/

[Thwarn]

Ben dans ce cas tu cherches des solution de la forme A(t)Exp(iΩt)+B(t)Exp(-iΩt)

[pepejy]

Et alors? La méthode reste valable. J'ai juste traduit tes exponentielles complexes en termes trigonométriques. Y'a pu ka!!!


edit : grillé par Thwarn!!!

[lechoufarci]

Ok.
J'ai fait comme vous m'aviez dit, j'ai considéré A et B comme dépendant de t.
J'ai réinsérer dans l'équation différentielle, mais j'obtiens quelque chose d'assez moche.

A''(t) exp(iΩt) + 2 A'(t) (-iΩ) exp(iΩt) + B''(t) exp(-iΩt) + 2 B '(t) (-iΩt) exp (iΩt) = e/m dE/dt

Même si je considère à t=0 (je ne suis même pas sûr d'avoir le droit), j'ai : A'' + B'' + (2iΩ) (A' - B') = e/m dE/dt

Or A = -B, d'où A''+B'' = 0 et je n'ai plus que : (2iΩ) (A'-B') = e/m dE/dt.
Je ne vois toujours pas comment obtenir A ou B :/

[pepejy]

lorsque tu écris la dérivée première de ta solution, tu t'imposes une condition supplémentaire, pour faire disparaitre les dérivées seconde de A et B
y=A(t)Exp(iΩt)+B(t)Exp(-iΩt)=Ay1+By2

y'=A'y1+Ay'1+B'y2+By'2

Tu poses : A'y1+B'y2 =0.

Ensuite après moulinage tu l'as refait apparaître et tu obtiens un système de deux équations à deux inconnues!!!

[lechoufarci]

je ne comprends pas ...
- est-ce que je les annule dès l'expression de la dérivée première ? dans ce cas je n'ai plus qu'à dériver (iΩ) A(t) exp(iΩt) + (-iΩ) B(t) exp(-iΩt) ?
- ou alors je laisse tel quelle l'expression, et je redérive pour obtenir ma dérivée seconde et dans ce cas j'ai des termes qui s'annulent et j'ai :
A''(t) + B''(t) = -e/m dE/dt

et puis je ne comprends pas pourquoi on aurait le droit de poser
A'(t) exp(iΩt) + B'(t) exp(-iΩt) = 0 ...

[pepejy]

le but est de ne pas avoir de dérivées secondes, mais c'est toi qui voit. donc tu t'impose la conditions, tu as le droit de te donner les conditions que tu veux pour tes fonction A et B, mais il faut que tu puisses calculer un résultats. et effectivement tu dérives y'=(iΩ) A(t) exp(iΩt) + (-iΩ) B(t) exp(-iΩt). n'oublie pas que ton but est de déterminer A et B

[lechoufarci]

ok j'ai fait comme tu m'as dit et je trouve après simplifications :
d²v/dt² = A(t) (iΩ) (iΩ) exp(iΩt) + B(t) (-iΩ) (-iΩ) exp(iΩt)
Donc :
d²v/dt² = - A(t) Ω² exp(iΩt) - B(t) Ω² exp(-iΩt).

Ce qui fait en remplaçant dans l'équation différentielle :
d²v/dt² + Ω² v = -e/m dE/dt
- A(t) Ω² exp(iΩt) - B(t) Ω² exp(-iΩt) + Ω² (A(t) exp(iΩt) + B(t) exp(-iΩt) = -e/m dE/dt

Ce qui équivaut à : 0 = -e/m dE/dt.
Je retombe sur ce que j'avais trouvé et ce qui était faux ...

[Astérion]

Bonjour,

Ne pourrait-on pas chercher les solutions pour un champ électrique de la forme E(t)=E_w exp(-iwt) avant tout?

A plus.

[BoudBoulMan]

Ne pourrait-on pas chercher les solutions pour un champ électrique de la forme E(t)=E_w exp(-iwt) avant tout?

Un champ électrique peut être complexe ?

[pepejy]

Un champ électrique peut être complexe ?

bien sur, seul la partie réelle aura une signification physique

[pepejy]

ok j'ai fait comme tu m'as dit et je trouve après simplifications :
d²v/dt² = A(t) (iΩ) (iΩ) exp(iΩt) + B(t) (-iΩ) (-iΩ) exp(iΩt)
Donc :
d²v/dt² = - A(t) Ω² exp(iΩt) - B(t) Ω² exp(-iΩt).

Ce qui fait en remplaçant dans l'équation différentielle :
d²v/dt² + Ω² v = -e/m dE/dt
- A(t) Ω² exp(iΩt) - B(t) Ω² exp(-iΩt) + Ω² (A(t) exp(iΩt) + B(t) exp(-iΩt) = -e/m dE/dt

Ce qui équivaut à : 0 = -e/m dE/dt.
Je retombe sur ce que j'avais trouvé et ce qui était faux ...

*

euh...! tu as oublié de dériver les fonctions A(t) et B(t)
donc ca ne peut pas marcher...
d²v/dt² = A(t) (iΩ) (iΩ) exp(iΩt) +A'(t)(iΩ) exp(iΩt)+ B(t) (-iΩ) (-iΩ) exp(iΩt)+B'(t)(-iΩ) exp(iΩt)

et là tu remplaces

[lechoufarci]

d'accord, mais je croyais que A'(t) exp(iΩt) + B'(t) exp(iΩt) = 0 ??
Et oui, on peut exprimer E(t) = E0 exp(iΩt)