polynômes de Legendre en physique

[benjgru]

Bonjour,

dans l"article suivant (calcul des forces de marées océaniques):

http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_de_mar%C3%A9e

quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi on peut développer le terme en 1/d en série de polynômes de Legendre ?

j'ai appris à développer ce genre d'expression avec un bon vieux développement limité et la formule du binôme de Newton alors je comprends pas trop

de plus ne faut-il pas que le Laplacien ( en l'occurrence du champ de gravitation) soit nul pour pouvoir utiliser ces polynômes, ce qui n'est pas le cas ici me semble-t-il (les harmoniques sphériques sont sous jacentes , arrêtez-moi si je me trompe) .

D'avance merci pour vos éclaircissements

[benjgru]

oups ...

peut-être cette discussion serait plus à sa place dans le forum "Maths du Supérieur" ??
si un modérateur m'entend...

[pepejy]

bonjour,

tout simplement parce que l'on fait apparaitre la fonction génératrice des polynomes de Legendre!!

[Scorp]

Tout à fait. Pour rappel, la fonction génératrice des polynômes de Legendre est :


Avec et v=a/R on obtient bien la décomposition en polynômes de Legendre indiqué dans l'article

[Spineur]

de plus ne faut-il pas que le Laplacien ( en l'occurrence du champ de gravitation) soit nul pour pouvoir utiliser ces polynômes, ce qui n'est pas le cas ici me semble-t-il (les harmoniques sphériques sont sous jacentes , arrêtez-moi si je me trompe) .

Oui tu te trompes....
Quand on développe le potentiel électrostatique, on fait aussi un développement en polynômes de Legendre et pourtant le laplacien du potentiel n'est pas nul (cf l'équation de Poisson...)
De même en mécanique quantique, quand tu résouds l'atome d'hydrogène, tu fais apparaître les harmoniques sphériques qui sont modulo la partie en \Phi, des polynômes de Legendre. Hors le laplacien n'est pas nul... (cf l'équation de Schrödinger...)

[benjgru]

ok merci !

c'est quoi une fonction génératrice ? un genre de développement limité ou en série ?

je suis plus physicien que matheux

[Scorp]

La fonction génératrice d'une suite (Un) est la série
Ainsi, la fonction génératrice de la suite constante 1 est et celle de est tout simplement

De même, la fonction génératrice de la suite est donnée dans mon post précédent par la série formelle correspondante

[benjgru]

ok je vois...
des genres de développement en série entière généralisés quoi...