loi de Fourier ? Dispersion de la chaleur...

kiplus · 21/07/2009 - 09h47

Bonjour,

Mon problème est simple (mais pas sa résolution...). Je cherche à modéliser un cylindre creux (style rouleau d'essuie-tout) placé dans une étuve, et à déterminer le temps que ça peut prendre pour que toute la bobine atteigne la température.

Je n'ai pas de données précises sur l'étuve, mis à part le fait qu'elle soit très grande par rapport à la bobine (donc je pense qu'on peut considérer que le température est constante). J'ai la courbe DSC du produit fixé sur le tube (sorte de film plastique poreux), et je peux faire celle du carton si besoin. Je ne cherche pas un résultat précis, mais un résultat qui me donnera une surestimation du temps : je veux pouvoir dire : au bout de 10 minutes par exemple, je suis certain que toute ma bobine est à température. SI en réalité cela prend 2 minutes ce n'est pas grave, mais il ne faut pas que ça dépasse la valeur trouvée.

Je suis tombé sur l'équation de la chaleur de Fourier http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q..._de_la_chaleur mais je ne comprends pas vraiment, et je pense qu'on peut simplifier tout ça pour mon problème... Avez-vous des pistes ?

Merci d'avance pour votre précieuse aide...

Pierre.

gatsu · 21/07/2009 - 10h04

Envoyé par kiplus

Bonjour,

Mon problème est simple (mais pas sa résolution...). Je cherche à modéliser un cylindre creux (style rouleau d'essuie-tout) placé dans une étuve, et à déterminer le temps que ça peut prendre pour que toute la bobine atteigne la température.

Je n'ai pas de données précises sur l'étuve, mis à part le fait qu'elle soit très grande par rapport à la bobine (donc je pense qu'on peut considérer que le température est constante). J'ai la courbe DSC du produit fixé sur le tube (sorte de film plastique poreux), et je peux faire celle du carton si besoin. Je ne cherche pas un résultat précis, mais un résultat qui me donnera une surestimation du temps : je veux pouvoir dire : au bout de 10 minutes par exemple, je suis certain que toute ma bobine est à température. SI en réalité cela prend 2 minutes ce n'est pas grave, mais il ne faut pas que ça dépasse la valeur trouvée.

Je suis tombé sur l'équation de la chaleur de Fourier http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q..._de_la_chaleur mais je ne comprends pas vraiment, et je pense qu'on peut simplifier tout ça pour mon problème... Avez-vous des pistes ?

Merci d'avance pour votre précieuse aide...

Pierre.

Salut,

Tu veux faire un calcul "à la main" ou une simulation ? Parce que ça ne demande pas du tout les mêmes outils ni les mêmes efforts.

Il faudrait également que tu nous donnes la condition initiale du problème. Autrement dit, quelle est la température de la bobine au départ est ce qu'elle est uniforme etc... ?

kiplus · 21/07/2009 - 10h13

Envoyé par gatsu

Tu veux faire un calcul "à la main" ou une simulation ? Parce que ça ne demande pas du tout les mêmes outils ni les mêmes efforts.

Il faudrait également que tu nous donnes la condition initiale du problème. Autrement dit, quelle est la température de la bobine au départ est ce qu'elle est uniforme etc... ?

Bonjour Gatsu.

He pense faire plutot une simulation, soit en C (avec Root par exemple), soit avec Matlab (ceci pour simplifier la démarche).

Pour la condition initiale du problème... La temérature initiale de la bobine est uniforme et constante, elle est en contact avec l'air extérieur de tous côtés sauf en dessous (en dessous : petit support en plastique donc isolant, je pense qu'on peut donc négliger l'apport de chaleur par en dessous...), il n'y a (en théorie...) pas de circulation d'air dans l'étuve, donc pas de convection...

gatsu · 21/07/2009 - 10h31

Envoyé par kiplus

Bonjour Gatsu.

He pense faire plutot une simulation, soit en C (avec Root par exemple), soit avec Matlab (ceci pour simplifier la démarche).

Pour la condition initiale du problème... La temérature initiale de la bobine est uniforme et constante, elle est en contact avec l'air extérieur de tous côtés sauf en dessous (en dessous : petit support en plastique donc isolant, je pense qu'on peut donc négliger l'apport de chaleur par en dessous...), il n'y a (en théorie...) pas de circulation d'air dans l'étuve, donc pas de convection...

Ok ensuite tu mets ton tube dans une étuve beaucoup plus grande que le tube c'est ça ?
Et tu supposes par ailleurs que l'air dans l'atmosphère dans l'étuve a une température constante et uniforme c'est ça ?

En ce qui concerne la modélisation dans une certaine mesure j'utiliserais la géométrie cylindrique et en profiterais pour approcher le laplacien dans l'équation de la chaleur par sa partie radiale déjà.

Pour les conditions aux bords j'aurais mis soit des conditions de Dirichlet (pour Rmin et Rmax du tube) en imaginant que les surfaces du tube en contact direct avec le thermostat atteignent très vite la température de l'étuve ou alors des conditions de Neumann de ce genre .

kiplus · 21/07/2009 - 10h38

OUi, l'étuve est beaucoup plus grande, et je pense qu'on peut simplifier en disant que l'air a une température constante.

Ne serait-il pas possible de simplifier le problème (je ne suis pas du tout mathématicien et j'avoue que je suis meme assez mauvais en maths...) en utilisant simplement l'équation de la diffusivité thermique ici, en maillant la bobine (en coordonnées radiales) ?

gatsu · 21/07/2009 - 10h52

Envoyé par kiplus

OUi, l'étuve est beaucoup plus grande, et je pense qu'on peut simplifier en disant que l'air a une température constante.

Ne serait-il pas possible de simplifier le problème (je ne suis pas du tout mathématicien et j'avoue que je suis meme assez mauvais en maths...) en utilisant simplement l'équation de la diffusivité thermique ici, en maillant la bobine (en coordonnées radiales) ?

ba si c'est ce que je te dis dans la suite de mon message.

kiplus · 21/07/2009 - 13h17

Oui, pardon, je n'avais pas fait attention...

J'ai trouvé sur le site http://wwwesip2.univ-poitiers.fr/ens...ionchaleur.pdf l'équation de chaleur en coordonnées cylindriques (page 12, formule du milieu). Pensez vous que cela puisse convenir ? Malheureusement il s'agit d'un cylindre plein... En fait je n'arrive pas vraiment à passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques en intégrant le fait que cela soit un tube et non un cylindre...

kiplus · 21/07/2009 - 13h21

Est-ce que cela ferait une trop grande approcimation de travailler sur une "barre" ? En effet, on peut imaginer ne travailler que sur un angle infiniment petit et sur une hauteur infiniment petite (dire que c'est la somme de ces "volumes" qui forment le tube, étant donné qu'il est parfaitement symétrique) ? Donc on aurait une barre de section infiniment petite, de tempérture Tini, et ses deux extrêmités seraient à une température Text...

Bon je ne pense pas que ça puisse marcher malheureusement...

gatsu · 21/07/2009 - 17h55

Envoyé par kiplus

Oui, pardon, je n'avais pas fait attention...

J'ai trouvé sur le site http://wwwesip2.univ-poitiers.fr/ens...ionchaleur.pdf l'équation de chaleur en coordonnées cylindriques (page 12, formule du milieu). Pensez vous que cela puisse convenir ? Malheureusement il s'agit d'un cylindre plein... En fait je n'arrive pas vraiment à passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques en intégrant le fait que cela soit un tube et non un cylindre...

Oui c'est la bonne équation (il faut par contre enlever le terme q avec trois points au dessus).
L'idée est de dire que la température ne dépend ni de phi, ni de z et comme ça il ne reste plus que la partie radiale de l'équation.

Sinon pour tenir compte du fait que c'est un tube il faut juste utiiser le fait qu'un tube est caractérisé par un rayon intérieur (que j'ai appelé Rmin dans mon précédent message) et un rayon exterieur (que j'ai appelé Rmax dans mon précédent message). Il faut donc mettre des conditions aux bords pour ces deux rayons (celles que je t'ai mentionnées dans mon message précédent).

kiplus · 23/07/2009 - 15h06

Salut, et merci pour tes réponses gatsu !

Si je comprends bien, mon problème se résume à cela :

. C'est bien ça ?

Pour résoudre cela, il y a possibilité de résoudre de manière exacte par calcul, ou il faut quand même que je passe par un ordi ?

S'il faut simuler numériquement, je dois faire un développement limité, puis mettre ça en matrice, c'est ça ?

gatsu · 24/07/2009 - 08h28

Envoyé par kiplus

Salut, et merci pour tes réponses gatsu !

Si je comprends bien, mon problème se résume à cela :

. C'est bien ça ?

Oui c'est ça.

Pour résoudre cela, il y a possibilité de résoudre de manière exacte par calcul, ou il faut quand même que je passe par un ordi ?

Comme c'est de la diffusion pure je pense qu'il peut exister une solution explicite sous forme intégrale mais n'étant pas spécialiste je ne m'avancerais pas d'avantage sur ce sujet. Si tu as un logiciel comme Maple ou mathematica à disposition, c'est clair qu'ils sauront résoudre ça au moins numériquement.

S'il faut simuler numériquement, je dois faire un développement limité, puis mettre ça en matrice, c'est ça ?

C'est effectivement l'idée derriere les differences finies mais c'est très loin d'être ma spécialité. Il y a des gens beaucoup plus compétents sur ce sujet qui sauront sans aucun doute t'en dire plus.