Calculer le champ magnétique d'un fil conducteur

arbolis87 · 05/11/2009 - 16h50

Bonjour,
J'ai de la difficulté à résoudre le problème suivant : Calculez le champ magnétique d'un fil conducteur de longueur L pour un point P situé sur la médiatrice du fil à une distance R du fil.

Mon essai : La loi de Biot et Savart.
$\vec B = \frac{\mu _0}{4 \pi} \int I d \vec l \times \frac{\vec r}{r^3}$ .
Donc j'ai fais un dessin pour trouver l'angle $\theta$ (plus précisément $\cos \theta$ vu que $\vec l \times \vec r = lr \cos \theta$ ).
Mais je n'ai pas réussi à le trouver. J'ai dessiné un élément $d\vec l$ sur le fil, dont j'ai noté sa distance avec le point P $l$ .
J'obtiens un triangle rectangle $P dl O$ , où $O$ est le milieu du fil.
$\cos \theta = \frac{r}{l}$ où $r$ est la distance entre l'élément $dl$ et le point $O$ . J'imagine qu'il faut que je trouve une expression équivalente pour $r$ , mais je n'ai pas d'idée.

pephy · 05/11/2009 - 17h12

bonjour
je ne saisis pas bien quel angle vous appelez $\theta$
Si on appellle M la position de l'élément de courant
$\vec{r }=\vec{MP}$
le produit vectoriel fait intervenir le sinus d'un angle qui vaut $\pi/2+\phi$
avec $\phi=\hat{OPM}$
donc finalement cos(phi) qui vaut R/r

**LPFR** · 05/11/2009 - 17h26

Bonjour.
Si une petite longueur du fil est dl, la longueur dans le fil se mesure avec l (ce sera votre variable d'intégration). Et si le point est placé à une distance R du fil, la distance 'r' sera r= sqrt(R² + l²) et il faudra faire l'intégrale entre –L/2 et +L/2.
Faites un dessin.
Cela vous permettra d'écrire le cosinus (plutôt le sinus) en fonction de 'l' qui est votre variable d'intégration.
Ceci dit, vous pouvez aussi changer de variable d'intégration et utiliser l'angle. Mais il ne faut pas se planter en faisant le changement.
Au revoir.

arbolis87 · 05/11/2009 - 19h02

Merci à vous deux.
pephy, je ne vois pas pourquoi le produit vectoriel fait intervenir un angle de $\frac{\pi}{2}+\phi$ .

LPFR, j'ai fais un dessin, j'espère qu'il est correct.

Faut-il que je résolve l'intégrale $\int _{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \frac{R}{\sqrt{l^2+R^2}}dl$ ? Si oui, alors je ne comprends pas pourquoi je n'ai pas pris la tangente de $\theta$ : $\frac{R}{l}$ qui m'a l'air plus simple pour l'intégration.

**LPFR** · 05/11/2009 - 19h23

Re.
La pièce n'est pas encore visible.
Si je ne me trompe pas, la racine que vous avez au dénominateur doit être élevée au cube. Ça vient du sinus de l'angle (ou du cosinus si vous prenez l'autre angle).
Et il est vrai que dans ce cas précis, l'intégrale est plus facile si on travaille avec les angles. Mais n'oubliez pas qu'il faut aussi mettre dl en fonction de thêta.
A+

arbolis87 · 05/11/2009 - 19h47

Ok merci LPFR, je commence à comprendre. En effet, j'obtiens $B=\frac{\mu _0}{4 \pi}I \int _{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \frac{dl}{\sqrt{l^2+R^2} ^3}$ . L'intégrale n'est pas très belle à mes yeux.
Je vais essayer le changement de variable.

**LPFR** · 05/11/2009 - 20h49

Re.
C'est vrai, mais elle n'est pas méchante.
Exprimez l en fonction de thêta puis faites la différentielle.
A+

pephy · 06/11/2009 - 07h44

Envoyé par arbolis87

pephy, je ne vois pas pourquoi le produit vectoriel fait intervenir un angle de $\frac{\pi}{2}+\phi$ .

bonjour
simplement parce que j'oriente dl dans l'autre sens (correspondant au sens positif de phi); cet angle phi=OPM est celui qui est le plus pratique pour l'intégration;c'est le complémentaire de votre theta

arbolis87 · 06/11/2009 - 22h27

Envoyé par pephy

bonjour
simplement parce que j'oriente dl dans l'autre sens (correspondant au sens positif de phi); cet angle phi=OPM est celui qui est le plus pratique pour l'intégration;c'est le complémentaire de votre theta

Ok merci pour la clarification.