Commutateur

[BraorKet]

Bonsoir,

on me demande d'établir l'égalité [Aⁿ,B]=n[A,B]A^n-1 (A et B commutent). J'ai ma petite idée mais je suis pas sur que ca soit juste.

Alors je commence par monter que :

[A,B]=AB-BA=0 donc AB=BA

[A²,B]=A[A,B]+[A,B]A comme A et B commutent

[A²,B]=2[A,B]A (1) (est ce que j'ai le droit de dire ca vu que ca A et B commutent? parce que le reste est basé sur ca)

[A³,B]=A[A²,B]+[A,B]A²

D'apres (1) on peut dire que :

[A³,B]=A(2[A,B]A)+[A,B]A²= 2[A,B]A²+[A,B]A²=3[A,B]A²

Donc on obtient se qui est demandé [Aⁿ,B]=n[A,B]A^n-1

Merci d'avance pour les personnes qui m'aideront