démonstration de la loi de Planck - statistique de Bose

pepinou · 17/06/2005 - 17h34

Bonjour !!

Je suis en train de m'arracher les cheveux sur la démonstration de la loi de Planck à partir de la statistique de Bose Einstein.
J'arrive bien à commencer, je cherche la densité d'énergie électomagnétique u( $\omega$ ,T) telle que :

$dE = V u(\omega,T) d\omega$ , V étant le volume

je trouve :
$dE = \frac {\hbar V\omega^{3}}{\pi^{2}c^{3}} \frac {d\omega}{e^{\beta \hbar \omega}-1}$

donc
$u(\omega ,T) = \frac {\hbar \omega^{3}}{\pi^{2}c^{3}} \frac {1}{e^{\beta \hbar \omega}-1}$

résultats qui sont apparement justes d'après ce que j'ai pu vérifier sur internet.
Le problème est que je ne vois pas comment remonter jusqu'à la "vraie" formule de Planck, qui donne la luminance je crois (pas sur...).
Si je ne fais que remplacer $\omega$ par $\frac {2\pi c}{\lambda}$ , j'ai un factuer $\frac {4\pi}{c}$ qui me manque ...

Mon gros problème vient du fait que je ne sais pas comment calculer toutes les grandeurs que sont intensité lumineuse, flux lumineux, luminance ... J'ai pourtant cherché et cherché sur internet mais personne n'explique coment calculer le flux lumineux ou l'intensité à partir de la densité d'énergie électromagnétique...

J'ai ensuite un second problème pour retrouver la loi de Stefan-Boltzmann.
Je veux calculer $\frac {dE}{dt}$ pour une surface d'émission d'aire unité. Je me dis donc que le volume que je dois considérer est $V=c\cdot dt\cdot \cos(\theta)$ , pour une surface d'aire unité toujours, dans une direction $\theta$ donnée pendant un intervalle de temps dt (c'est le volume d'énergie électromagnétique qui sera émis pendant dt, cette énergie se déplaçant à la vitesse c).

J'ai donc :
$d^{3}E=cdt \times \cos(\theta)d\Omega \times u(\omega,T)d\omega$

que j'intègre ensuite sur toutes les directions et toutes les pulsations (je peux considérer que les pulsations vont de 0 à l'infini, mais enréalité existe-t-il quelque chose d'analogue à la pulsation de Debye qui serait une pulsation maximum ??)

$dE=c\cdot dt \int_{0}^{2\pi} \cos(\theta)d\Omega \int_{0}^{\infty}u(\omega,T)d\ omega$

$\Omega$ allant de 0 à $2\pi$ pour un demi espace.

$dE=\frac {c \hbar}{\pi^{2} c^{3}}dt \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi \cos(\theta)\sin(\theta)d\thet a \int_{0}^{\infty}\frac {\omega^{3}}{e^{\beta \hbar \omega}-1}$

ce qui me donne en posant $x=\beta\hbar\omega$ et en sachant que $\int_{0}^{\infty} \frac {x^{3}}{e^{x}-1}dx=\frac {\pi^{4}}{15}$

$P=\frac {dE}{dt} = \frac {c\pi^{3}}{15} \frac {(kT}^{4}}{(\hbar c)^{3}}$

et donc $\sigma = \frac {c \pi^{3} k^{4}}{15 (\hbar c)^{3}}$ au lieu de $\sigma = \frac {c \pi^{2} k^{4}}{60 (\hbar c)^{3}}$
mais je ne vois pas d'où vient mon erreur...

Merci infiniement à ceux qui auront le courage de lire toutes ces lignes !!
ET si quelqu'un connait juste un site où ces démonstrations sont bien explicitées je suis preneur ...

Bonne journée !

Meumeul · 17/06/2005 - 18h07

Le probleme doit se situer entre les bornes dintegration et le fait que ta surface doit faire $4\pi$ .....mais c'est pas clair

pepinou · 18/06/2005 - 02h36

alors j'ai trouvé une vague démonstration dans laquelle le problème est complètement sauté, et il y a en effet un problème au niveau de l'intégration, puisque l'intégrale sur l'angle solide qui est pour moi :

$\int_{0}^{2\pi} \cos(\theta) d\Omega$

devient :

$\int_{0}^{2\pi} \cos(\theta) \frac {d\Omega}{4\pi}$

et je ne comprend pas du tout d'où vient le facteur $\frac {1}{4\pi}$ qui a une tete de normalisation... mais je ne vois pas pourquoi il est là... help ! !

gros_minet · 18/06/2005 - 12h04

Bonjour,

Voici quelques definitions glanees sur le net :
emittance : flux lumineux emis par chaque m2 de surface,
luminance : intensite lumineuse emis par chaque m2 de surface.

A partir de ces definitions, je pense que le flux lumineux est l'intensite lumineuse mesuree par seconde.

Je commence par la seconde question. En effet la quantite integree est :
$u_{\omega} d{\omega} \times c dt dS \times \frac{d{\Omega}}{4\pi}$
ou la densite d'energie est multiplie par le volume d'un cylindre oblique et la fraction (d'ou le facteur $\frac{1}{4\pi}$ ) de photons diriges dans un certain angle solide.

Pour la premiere question, as-tu une expression de la vraie formule de Planck qui te permet de remonter a la luminance ?

pepinou · 18/06/2005 - 17h50

aaaah mais oui merci pour le $4\pi$ ....... c'est en effet très logique.... hont à moi...

La "vraie" formule de Planck que j'ai est $L_{\lambda}=\frac {2hc^{2}\lambda^{-5}}{e^{\frac{hc}{k\lambda T}}-1}$ qui me donne donc la luminance (normalement !) mais je pense avoir trouvé la solution, le facteur c qui me manquait doit venir de l'expression du volume qui doit donc intervenir dans la luminance, et le $\frac {1}{4\pi}$ me vient de l'isotropie de la direction de photons... enfin je crois !

gros_minet · 18/06/2005 - 19h36

Envoyé par gros_minet

Voici quelques definitions glanees sur le net :
emittance : flux lumineux emis par chaque m2 de surface,
luminance : intensite lumineuse emis par chaque m2 de surface.

Je reprecise (et corrige) ces definitions :
emittance : quantite d'energie par seconde emis par m2 de surface
luminance : quantite d'energie par seconde par m2 de surface $\underline{apparente}$ et d'angle solide

On peut aussi definir l'emittance spectrale ou la luminance spectrale, respectivement emittance et luminance divisees par unite de frequence.

On a l'egalite suivante :
$\frac{1}{4 \pi} (u_{\omega} d\omega).(c dt dS cos \theta). d\Omega = \frac{c u_{\omega}}{4 \pi}.(d\omega dt dS cos \theta d\Omega)$

Le terme que l'on desire calculer est la luminance spectrale :
$L_\omega = \frac{c u_{\omega}}{4 \pi}$

En posant $L_{\omega} d\omega = L{\lambda} d\lambda$ , on arrive sans probleme a la vraie formule de Planck, que tu as correctement citee.