Cas de mouvement brownien

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je vais peut-être faire un projet d'étude sur le mouvment brownien, mais j'aimerais avoir quelques précisions : à quelles grandeurs caractéristiques s'intéresse-t-on ? Où retrouve-t-on des cas de mouvement brownien (mis à part le grain de pollen dans un fluide, peut-être le trajectoire d'un photon dans une étoile, quelque chose en rapport avec les nuages interstellaires ou bien même dans un autre domaine que l'astrophysique ?) ?

Merci d'avance,
Phys2

[Thwarn]

Salut,

une grandeur interessante dans le cas du mouvement brownien est la distance parcouru (en gros, la distance moyenne à l'orginie ou se trouve la particule apres un temps t), qui croit en racine du temps.
Le mouvement est caracterisé en gros par la temperature et la masse de la particules par rapport au bain thermique.

[doul11]

bonsoir

Où retrouve-t-on des cas de mouvement brownien

simplement dans tout les gaz

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...9tique_des_gaz

[Magnétar]

Bonjour,

Où retrouve-t-on des cas de mouvement brownien (mis à part le grain de pollen dans un fluide, peut-être le trajectoire d'un photon dans une étoile, quelque chose en rapport avec les nuages interstellaires ou bien même dans un autre domaine que l'astrophysique ?) ?

Il y a beaucoup de lien avec les modèles économiques et financier aussi (comme dirais mon prof "toute la finance est dans le mouvement brownien").
Des choses intéressantes à regarder sont, par exemple, les marches aléatoires sur réseau (le mouvement brownien n'étant que la version continue du problème) et le problème dit du "retour", en gros ça consiste à voir comment varie la probabilité de revenir à un point déjà visité (ou au voisinage d'un point dans le cas continu) tu verras qu'il y a des phénomènes sympa quand la dimension de l'espace dans lequel se fait le mouvement change.
Après physiquement le mouvement brownien est très lié à tous les phénomènes de diffusion. Donc voilà ça te fait quelques mots clés à "googler". En tout cas c'est un sujet très intéressant

[Seirios]

simplement dans tout les gaz

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...9tique_des_gaz

J'y avais bien pensé, mais je pense que ce serait une application assez vaste, difficile d'en faire le tour...

Il y a beaucoup de lien avec les modèles économiques et financier aussi (comme dirais mon prof "toute la finance est dans le mouvement brownien").

J'ai lu ça quelque part, mais je préférerais avoir une belle application physique

Des choses intéressantes à regarder sont, par exemple, les marches aléatoires sur réseau (le mouvement brownien n'étant que la version continue du problème) et le problème dit du "retour", en gros ça consiste à voir comment varie la probabilité de revenir à un point déjà visité (ou au voisinage d'un point dans le cas continu) tu verras qu'il y a des phénomènes sympa quand la dimension de l'espace dans lequel se fait le mouvement change.

J'ai effectivement vu que l'on pouvait retrouver l'équation de diffusion en passant par les marches aléatoires. J'avais également pensé utiliser ces marches pour expliquer le paradoxe de Zermelo (puisque d'après le théorème de Polya, pour un nombre de dimension supérieure strictement à 2, le probabilité d'un retour à l'origine de la marche aléatoire est différente de 1, donc mis à la puissance du nombre de particules dans un gaz, on devrait bien retrouver une probabilité extrêmement faible). Donc c'est un point que je vais creuser

Sinon, vous avez d'autres applications ? (peut-être plus précises ?)

[Gilgamesh]

mis à part le grain de pollen dans un fluide,

A noter pour l'anecdote que le mouvement observé par Brown (1827) ne concernait pas le mouvement de pollen au sein du liquide mais le mouvement de particules à l'intérieur de grains de pollens (".. particularly of Viola tricolor, Zizania aquatica and Zea mays"), qui étaient inexplicables avec la physique d'alors et qu'il attribua à une force "vitale" (c'était donc un argument vitaliste, initialement).


http://www.brianjford.com/wbbrowna.htm

a+

[gatsu]

Bonjour à tous,

Je vais peut-être faire un projet d'étude sur le mouvment brownien, mais j'aimerais avoir quelques précisions : à quelles grandeurs caractéristiques s'intéresse-t-on ? Où retrouve-t-on des cas de mouvement brownien (mis à part le grain de pollen dans un fluide, peut-être le trajectoire d'un photon dans une étoile, quelque chose en rapport avec les nuages interstellaires ou bien même dans un autre domaine que l'astrophysique ?) ?

Merci d'avance,
Phys2

Salut,

Vu la question tu sembles chercher des phénomènes physiques bien décrits par un model genre mouvement Brownien. Le bon mot est plutot processus stochastique je pense. C'est l'outil mathématique qui permet l'étude de processus probabilistes dont la loi de probabilité dépend du temps (le mouvement Brownien n'en est qu'un cas très particulier).
De nombreuses modélisations de transport quantique ou classique peuvent être faites dans ce cadre théorique (et de façon plus ou moins phénoménologique).

[alovesupreme]

Les intégrales de chemin de Feynman en MQ peuvent etre introduites en mécanique classique
via les chemins browniens. D'ailleurs en prenant l'équation de diffusion on arrive à l'équation de Schroedinger par une rotation de Wick sur le temps.
Le parallelisme est peut etre purement formel entre Mécanique classique et MQ, mais regarde le livre de Le Bellac. Il insiste sur l'enrichissement mutuel des deux approches.
Regarde également ce petit livre: integrale fonctionnelle

[Magnétar]

Bon je vois que tu as déjà fait des recherches.

Vu la question tu sembles chercher des phénomènes physiques bien décrits par un model genre mouvement Brownien. Le bon mot est plutot processus stochastique je pense. C'est l'outil mathématique qui permet l'étude de processus probabilistes dont la loi de probabilité dépend du temps (le mouvement Brownien n'en est qu'un cas très particulier).

Oui, c'est ce genre de chose que je voulais proposer.
Je ne sais pas trop ce que tu as déjà pu voir, tu pourrais regarder du coté de l'équation de Langevin et l'équation de Fokker-Planck. Une application (classique) décrite par le formalisme du mouvement brownien auquel je pense est ce qu'on appelle le bruit de Johnson-Nyquist.

[gatsu]

Les intégrales de chemin de Feynman en MQ peuvent etre introduites en mécanique classique
via les chemins browniens. D'ailleurs en prenant l'équation de diffusion on arrive à l'équation de Schroedinger par une rotation de Wick sur le temps.
Le parallelisme est peut etre purement formel entre Mécanique classique et MQ, mais regarde le livre de Le Bellac. Il insiste sur l'enrichissement mutuel des deux approches.
Regarde également ce petit livre: integrale fonctionnelle

Je suis d'accord mais il faut faire attention car en mécanique statistique d'équilibre il y a plusieurs intégrales de chemin possibles en fonction du genre de systèmes étudiés. Par exemple pour les systèmes classiques l'action dans l'intégrale de chemin dans les théories genre Ginsburg-Landau n'est pas intégrée sur un paramètre équivalent ou semblable au temps mais seulement sur des coordonnées d'espace continues (sujet, il me semble, du bouquin de Le Bellac).
En revanche, pour les systèmes statistiques quantiques, en utilisant un raisonnement très semblable à celui de la reformulation de la MQ par intégrale de chemin de Feynman (approximation de Trotter) on peut retomber sur une intégrale de chemin euclidienne similaire à celle de la MQ pour le même système mais à une rotation de Wick près.

Enfin pour les intégrales de chemin stochastiques (c'est le terme consacré je crois), il est parfois utile formellement de faire apparaitre un terme gaussien dans l'action, qui une fois réinjecté dans la mesure fonctionnelle (elle s'appelle alors la mesure Wiener), simplifie significativement le formalisme et les concepts, l'intégrale de chemin s'effectuant non plus sur toutes les fonctions possibles mais sur tous les ponts Browniens reliant par exemple un point A à un point B comme tu l'as signalé.

Toutes ces techniques peuvent bien sûr être mélangées mais elles ont des roles et des sens de départ assez differents en terme de physique je pense. Preuve en est que l'équation de Schrodinger est en réalité plus une équation d'onde (équivalent à une dérivé seconde en temps) qu'une équation de diffusion bien que la difference entre les deux soit "juste" une rotation de Wick.

[gatsu]

J'y avais bien pensé, mais je pense que ce serait une application assez vaste, difficile d'en faire le tour...

Qu'est ce que tu appelles "en faire le tour" ? Que souhaites tu faire en fait ?
Si tu veux une "application" rapide et simple (enfin je ne me rappelle plus si c'est si simple que ça) il y ce qu'on appelle les "ratchets" qui sont des moteurs moléculaires cargo qui transportent du matériel biologique d'un coin à l'autre de la cellule en se déplaçant sur des rails appelés microtubules et en n'allant préférentiellement dans un sens. L'idée la plus courante (pas forcément la plus réaliste semble t il) est qu'ils avancent dans un potentiel en dent de scie mais disymétrique ce qui permet par mouvement brownien d'avancer plus dans un sens que dans l'autre en moyenne.

J'ai effectivement vu que l'on pouvait retrouver l'équation de diffusion en passant par les marches aléatoires.

C'est absolument caractéristique d'un equation de diffusion. L'idée étant qu'on perd du temps par rapport à une trajectoire ballistique pour aller d'un point à un autre (puisqu'on explore au pif l'espace environnant). Ce qui en découle c'est que la distance parcourue d scale comme la racine carré du temps de parcourt. Autrement dit dimensionnellement parlant une dérivée seconde spatiale correspond à une dérivée première en temps.

J'avais également pensé utiliser ces marches pour expliquer le paradoxe de Zermelo (puisque d'après le théorème de Polya, pour un nombre de dimension supérieure strictement à 2, le probabilité d'un retour à l'origine de la marche aléatoire est différente de 1, donc mis à la puissance du nombre de particules dans un gaz, on devrait bien retrouver une probabilité extrêmement faible). Donc c'est un point que je vais creuser

C'est une très bonne idée à explorer je trouve. Par contre j'imagine que le théorème de Polya dont tu parles est soit valable sur un espace compact, soit à temps fini non ? Car il me semble que même à un 1D sur R le temps de premier retour est infini. Autrement dit si tu comptais faire un truc du genre limite thermo il faut faire gaffe à l'ordre des limites je pense.

[Seirios]

Les intégrales de chemin de Feynman en MQ peuvent etre introduites en mécanique classique
via les chemins browniens. D'ailleurs en prenant l'équation de diffusion on arrive à l'équation de Schroedinger par une rotation de Wick sur le temps.
Le parallelisme est peut etre purement formel entre Mécanique classique et MQ, mais regarde le livre de Le Bellac. Il insiste sur l'enrichissement mutuel des deux approches.
Regarde également ce petit livre: integrale fonctionnelle

Ce point a l'air particulièrement intéressant, je vais essayer d'approfondire le sujet, merci

Je ne sais pas trop ce que tu as déjà pu voir, tu pourrais regarder du coté de l'équation de Langevin et l'équation de Fokker-Planck. Une application (classique) décrite par le formalisme du mouvement brownien auquel je pense est ce qu'on appelle le bruit de Johnson-Nyquist.

Je ne connaissais pas ce phénomène, j'en prends note

Qu'est ce que tu appelles "en faire le tour" ? Que souhaites tu faire en fait ?

En fait je pensais m'intéresser aux différentes manières de modéliser le mouvement brownien : j'ai vu que l'on pouvait considérer l'équation de Langevin (c'est-à-dire introduire un bruit blanc dans l'équation du PFD) ou se ramener à l'équation de Fokker-Planck par différentes méthodes (les marches aléatoires, la méthodes d'Einstein, celle de Rayleigh, j'en oublie certainement). Mais j'aimerais pouvoir en donner une application, sachant que cela ne doit pas constituer la partie principale de mon projet, donc il ne devrait pas être trop vaste, mais je ne voudrais pas non plus qu'il soit trop simpliste (toujours le compromis entre originalité et complexité).

C'est une très bonne idée à explorer je trouve. Par contre j'imagine que le théorème de Polya dont tu parles est soit valable sur un espace compact, soit à temps fini non ? Car il me semble que même à un 1D sur R le temps de premier retour est infini. Autrement dit si tu comptais faire un truc du genre limite thermo il faut faire gaffe à l'ordre des limites je pense.

Je pensais me placer sur , puisqu'il doit y avoir moyen de considérer une particule d'un gaz comme suivant une marche aléatoire dans , où est la "distance moyenne que parcourt la particule avant de subir un choc" (je ne sais pas si cela a un nom en particulier), ce qui, d'un point de vue des probabilités, revient à se mettre sur (c'est comme si on changeait l'unité de mesure des distances).

[Thwarn]

"distance moyenne que parcourt la particule avant de subir un choc"

C'est le libre parcours moyen

Si tu veux parler des differentes approches qui menent au mmouvement brownien, le rapport entre equation de langevin et integrale de chemin est assez beau.

Entre langevin et focker-plank, cherche du coté de Ito et Stratanovich, mais c'est à mon humble avis moins interessant.

[Magnétar]

Bon toujours à propos des applications tu peux t'intéresser à l'expérience de Jean Perrin sur l'estimation du nombre d'Avogadro, grâce aux mesures sur le mouvement brownien.
Après tu peux considérer pleins de problèmes de transports : par exemple la conduction électrique des solides peut-être modélisée comme résultant d'un mouvement brownien des électrons avec une direction privilégiée (dû au champ électrique), l'électron se déplaçant librement entre chaque diffusion électrons-phonons, en discret ça te donnerais une marche aléatoire biaisée (avec des probabilités différentes selon les directions d'espace).

[obi76]

A noter pour l'anecdote que le mouvement observé par Brown (1827) ne concernait pas le mouvement de pollen au sein du liquide mais le mouvement de particules à l'intérieur de grains de pollens (".. particularly of Viola tricolor, Zizania aquatica and Zea mays"), qui étaient inexplicables avec la physique d'alors et qu'il attribua à une force "vitale" (c'était donc un argument vitaliste, initialement).


http://www.brianjford.com/wbbrowna.htm

a+

Salut,

donc cette expérience a été faussement interprétée par la plupart des profs que j'ai eu...