Energie potentielle électrostatique (sphère)

Texanito · 31/10/2010 - 20h32

Bonsoir,

Je ne trouve pas le même résultat que mon prof à un facteur près et je m'arrache les cheveux depuis une heure pour comprendre pourquoi

Je considère une sphère avec une densité de charges volumique $\rho$ et de rayon R.

Je suis censé calculer l'énergie potentielle électrostatique U de cette sphère.

Pour $r \leq R$ : $E(r)=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}$ (relation que j'ai trouvé avec le théorème de Green-Ostrogradski, Gauss, etc...)

Donc $U=\frac{1}{2}\epsilon_0\iint \int_V \frac{\rho^2 r^2}{9\epsilon_0^2}dV$

Il s'agit là d'un champ radial donc :

$U=\frac{1}{2}\epsilon_0\frac{\ rh^2}{9\epsilon_0^2}4\pi \int_0^R r^4dr=\frac{2\rho^2 \pi R^5}{45\epsilon_0}$

Or $Q^2=\frac{16}{9}\rho^2 \pi^2 R^6$

Donc $U=\frac{1}{10}.\frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 R}$

Le problème c'est que mon prof trouve $U=\frac{3}{10}.\frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 R}$ et je ne vois absolument pas d'où peut bien sortir ce facteur 3

Étant donné le caractère peu fondamental de ce problème, je remercie beaucoup la personne qui daignera y consacrer un peu de son temps !

Joyeux Halloween !

Simontheb · 31/10/2010 - 22h26

Hum, quand tu intègres le carré du champ, il faut le faire sur tout l'espace (source). Donc tu as oublié l'extérieur de la sphère.
Avec cette méthode, le facteur 3 disparait, mais un facteur 2 apparait! J'ai aussi refait le calcul en intégrant couche par couche (ça évite les intégrales triples...) et je trouve toujours 3/5 au lieu de 3/10! Donc soit il y a un truc que j'ai décidément loupé, soit il y a une erreur d'un facteur 2.

Edit: Au fait, j'ai pas saisi pourquoi tu as précisé que E était radial quand tu as calculé ton intégrale triple. On ne se préoccupe là que de la norme du champ, non?

Texanito · 01/11/2010 - 08h16

Bonjour,

$\iint \int_V r^2 d^3V = \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 r^2 sin\theta d\theta d\varphi dr$

C'était pour bien préciser que $E_r$ ne dépend ni de $\theta$ ni de $\varphi$

Effectivement, en intégrant sur tout l'espace je trouve $U_{tot}=\frac{3}{5}.\frac{Q^2} {4\pi \epsilon_0 R}$ ... je demanderais à mon prof

Merci !