Invariance électrodynamique scalaire

SchliesseB · 04/12/2010 - 14h10

Bonjour,

Je cherche comment se transforme le Lagrangien de l'électrodynamique scalaire: $L=(-D_{\mu} \phi )^* (-D^{\mu} \phi ) -V( \phi^* \phi ) -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$

avec les conventions "habituelles": $\phi$ est un champ scalaire complexe de charge q, $A_{\mu}$ le champ du photon, $D_{\mu}=\partial_{\mu}+iq A_{\mu}$ la dérivée covariante et $F_{\mu \nu}=\partial_{\mu} A_{\nu}-\partial_{\nu} A_{\mu}$ le tenseur de champ électromagnétique.

A partir de là, je cherche le comportement sous les symétries de Parité, Conjugaison de charge et renversement du temps.

par exemple sous parité:
$P \phi(x) P^{-1}=\eta_{\phi}^* \phi(Px)$
donc
$P \phi(x)^* P^{-1}=\eta_{\phi} \phi(Px)^*$

et
$P A_{\mu}(x) P^{-1}=-\eta_{A}^* P_{\mu}^{\nu} A_{\nu}$

toutes les parties où A n'intervient pas son invariante par parité.
mais que dire des termes: $-\partial_{\mu} \phi^* iq A_{\mu}$ et son conjugué? Je n'arrive pas par exemple à faire disparaître le $P_{\mu}^{\nu}$ . Est-il bien vrai (ce que j'ai supposé mais je n'en suis plus tout à fait sur... ) que la parité n'a pas d'influence sur $\partial_{\mu}$ (mais seulement sur les opérateurs de l'espace de Hilbert et donc sur $\phi$ , et $A$ )

de même pour $F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}?$

Le lagrangien n'a donc pas un 'bon' comportement (c'est à dire réexprimable en fonction de L(Px) par exemple) par parité? L'action n'est donc pas invariante par parité? (et ça, ça serait bizarre...)
De même pour le renversement du temps?

pour la conjugaison de charge, j'arrive à montrer que le lagrangien y est invariant si $\xi_A=1$ . Le problème c'est qu'une recherche sur le net m'a donné que $\xi_A=-1$

Dois-je en conclure que je n'ai rien compris? que l'électrodynamique scalaire est différent de la QED (et donc ne représenterais pas un vrai photon...mais à priori le champ $\phi$ pourrait représenter le pion $\Pi^0$ non?)

Merci de m'avoir lu.

SchliesseB · 04/12/2010 - 14h31

il faut lire à la fin: $\phi$ pourrait représenter les pions $\pi^+ , \pi^-$ (puisque il faut des particules scalaires chargées...)

Désolé.

Cjordan · 04/12/2010 - 16h16

Envoyé par SchliesseB

Bonjour,

Est-il bien vrai (ce que j'ai supposé mais je n'en suis plus tout à fait sur... ) que la parité n'a pas d'influence sur $\partial_{\mu}$ (mais seulement sur les opérateurs de l'espace de Hilbert et donc sur $\phi$ , et $A$ )

de même pour $F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}?$

Merci de m'avoir lu.

Bonjour,

il me semble aussi que la parité n'a pas d'influence sur $\partial_{\mu}$ .

pour $F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$ je pense aussi qu'il ne change pas sous parité du fait de la forme de $F_{\mu \nu}$ en fonction de $A_u$ .

Mais je n'en suis pas sur donc d'autre pourrons venir préciser tout ça.

Pour le reste j'en sais pas assez pour répondre (je devrais savoir mais bon ^^ )

Bon courage.

SchliesseB · 07/12/2010 - 16h37

bonjour, j'ai finalement trouvé.

Si ça peut aider quelqu'un, $A_{\mu}$ est alors pris en $x'=Px$ et donc pour retransformer la dérivée $\partial_x$ en $\partial_x'$ , il y a juste un facteur $P$ qui permet de bien transformer le tout (et donc la dérivée covariante se transforme comme un vecteur).

De même pour le renversement du temps.

Pour la parité par conjugaison de charge, erreur de calcul ou erreur internet, je n'ai pas encore tranché.

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