Loi de Darcy et équation de Poisson pour la pression

julien_4230 · 22/12/2010 - 14h24

Bonjour à tous,

Soit deux plaques, qu'on assimile à des plans, parallèles et horizontaux, distants de b(t) selon z. On considère un liquide cylindrique dedans, de telle sorte que l'on néglige tout phénomène de tension de surface. b(t) est une fonction croissante du temps, et on suppose que le liquide reste cylindrique, de rayon R(t) (donc décroissant du temps).

Maintenant, à partir de l'équation de Stokes on demande de retrouver la loi de Darcy, puis de tirer une équation de Poisson pour la pression.

Je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait.

Nous savons que la vitesse selon z est :

$V_z=\frac{z}{b}\frac{db}{dt}$

et l'on a l'équation de Stokes :

$\vec{0}=-\vec{grad}(p)+\mu \Delta{\vec{v}}$

Pour trouver la loi de Darcy, il faut avoir une idée de l'écoulement radial..... Dois-je considérer la fonction $\ln$ ? Comment procéder ?

Une autre chose aussi, c'est que le fluide n'est pas incompressible, autrement on aurait :

$div(\vec{v})=0$

d'où

$\Delta p=0$

qui est une équation de Laplace, pas de Poisson, et vu $V_z$ ...

franzz · 22/12/2010 - 14h28

Salutations

c'est quoi un liquide cylindrique?

++

julien_4230 · 22/12/2010 - 14h37

Salut,

C'est un liquide sous forme d'un cylindre. lol
En fait le liquide est entre les deux plaques planes, sous forme cylindrique. Les bases du liquide cylindriques sont confondues avec les plans en haut et en bas.

julien_4230 · 22/12/2010 - 16h09

Je pense à une source, en fait, c'est pour cela que j'ai parlé de ln...

julien_4230 · 27/12/2010 - 12h21

Personne ne peut m'aider à trouver cette maudite équation de Poisson ? S'il vous plaît...

julien_4230 · 27/12/2010 - 15h38

Peut-être $\frac{1}{r+1}$ au lieu de $\ln{(r+1)}$ ?

gatsu · 27/12/2010 - 17h25

Envoyé par julien_4230

Bonjour à tous,

Soit deux plaques, qu'on assimile à des plans, parallèles et horizontaux, distants de b(t) selon z. On considère un liquide cylindrique dedans, de telle sorte que l'on néglige tout phénomène de tension de surface. b(t) est une fonction croissante du temps, et on suppose que le liquide reste cylindrique, de rayon R(t) (donc décroissant du temps).

Maintenant, à partir de l'équation de Stokes on demande de retrouver la loi de Darcy, puis de tirer une équation de Poisson pour la pression.

Je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait.

Nous savons que la vitesse selon z est :

$V_z=\frac{z}{b}\frac{db}{dt}$

et l'on a l'équation de Stokes :

$\vec{0}=-\vec{grad}(p)+\mu \Delta{\vec{v}}$

Pour trouver la loi de Darcy, il faut avoir une idée de l'écoulement radial..... Dois-je considérer la fonction $\ln$ ? Comment procéder ?

Une autre chose aussi, c'est que le fluide n'est pas incompressible, autrement on aurait :

$div(\vec{v})=0$

d'où

$\Delta p=0$

qui est une équation de Laplace, pas de Poisson, et vu $V_z$ ...

Salut,

Plusieurs questions :

- est ce que tu connais la forme que tu dois trouver à la fin ?

- Le fait que le fluide soit incompressible est ce une donnée du problème ou bien une hypothèse de ta part ? (question subsidiaire comment en déduis tu que le laplacien de la pression vaudra zero, cela ne me parait pas directement évident ?)

A+

julien_4230 · 27/12/2010 - 21h28

Bonjour, merci de votre intérêt. Ce problème m'emm**** franchement !

Réponses à vos questions :

- On doit trouver "une équation de Poisson pour la pression à partir de l'équation de Stokes et de la loi de Darcy", c'est la phrase de l'énoncé.

- La non incompressibilité du fluide est une hypothèse de ma part, car s'il était incompressible, on aurait une équation de Laplace pour la pression au lieu de équation de Poisson, me semble-t-il (c.f. plus haut). Le fluide serait donc non incompressible, ou compressible.

Par contre, il y a un truc qu'on sait bien, c'est l'expression de Vz :

$V_z=\frac{z}{b} \frac{db}{dt}$

Voilà, il faut donc partir de Stokes pour avoir une loi de Darcy, et en déduire une équation de Poisson pour la pression... C'est tout ce qu'on a comme donnée !

gatsu · 27/12/2010 - 22h51

Envoyé par julien_4230

- La non incompressibilité du fluide est une hypothèse de ma part, car s'il était incompressible, on aurait une équation de Laplace pour la pression au lieu de équation de Poisson, me semble-t-il (c.f. plus haut). Le fluide serait donc non incompressible, ou compressible.

Tu pourrais m'expliquer comment tu trouves que cela ne marche pas avec un fluide incompressible svp ?

Parce que perso je ne vois pas pourquoi apparemment
$\vec{\nabla}. \vec{v} = 0 \Rightarrow \Delta \vec{v} = \vec{0}$

guigui457 · 27/12/2010 - 23h22

Bonsoir,

Vous semblez être en présence d'un problème de Stokes. Votre nombre de Reynolds doit donc être faible.
Vu le type du problème, je pense que vous pouvez prendre l'hypothèse que votre fluide est incompressible.
Il en découle que div(u)=0 et non $\Delta u = div(grad(u))=0$ .

Bon courage

julien_4230 · 28/12/2010 - 10h14

Non mais je sais cela, cependant je ne sais pas retrouver la loi de Darcy à partir de Stokes. C'est ça, mon véritable problème : comment faîtes-vous dans ce cas d'étude particulier ?

Merci