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UNe affirmation etrange.

  1. invite39876
    Invité

    UNe affirmation etrange.

    Bonjour,
    Dans le cadre d'un travail bibilographique (en theorie des champ/physique des particules), je suis tombé sur cette affirmation que j'ai trouvé pour le moins etrange.
    "Sur la sphere S^2 muni de sa structure complexe classique, il n'y a pas de champ de vecteurs (non constant)".
    Je vois pas du tout ce qui permet d'affirmer ceci?
    Est ce qu'il manque un mot (du style jamais nul....).
    Merci!

    -----

     


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  2. invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Alors, d'apres la suite du papier ce serait bien qu'il n'existe meme aucun champ scalaire non constant sur cette sphere...
    La je comprends encore moins...
    On peut définir plein de champs scalaires non?
    Si qqun pouvait m'aider sniff.
     

  3. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Localisation
    Courcelles - Belgique
    Âge
    55
    Messages
    28 946

    Re : UNe affirmation etrange.

    Salut,

    Je suis tout aussi perplexe que toi

    Tu pourrais peut-être poser la question sur le forum de math.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  4. albanxiii

    Date d'inscription
    novembre 2010
    Localisation
    92
    Âge
    43
    Messages
    10 089

    Re : UNe affirmation etrange.

    Bonjour,

    Cela ne serait-il pas le théorème dit de la boule chevelue ? Un champs de vecteurs continu sur une sphère de dimension deux s'annule au moins en un point.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...boule_chevelue
     

  5. invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Bonjour,

    Cela ne serait-il pas le théorème dit de la boule chevelue ? Un champs de vecteurs continu sur une sphère de dimension deux s'annule au moins en un point.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...boule_chevelue
    Ben justement non, il est bien dit sur la sphere S^2, il n'y a aucun champ scalaire complexe non constant...

    Je comprends pas comment j'ai pu passer a coté de ca si c'est vrai.
     


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  6. invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Salut,

    Je suis tout aussi perplexe que toi

    Tu pourrais peut-être poser la question sur le forum de math.
    Heu... oui peut etre, mais je serai sure de ne pas comprendre la réponse
    J'imagine que si c'est vrai, des gens ici doivent etre au courrant

    Julia.
     

  7. Mixoo

    Date d'inscription
    janvier 2010
    Messages
    790

    Re : UNe affirmation etrange.

    Bonjour,
    vous trouvez pas ça plus simple de dire "sur la sphère S^2, il n'y a que des champs scalaires complexes constant" Plutôt que d'utiliser une double négation ?

    Pourriez-vous nous donner la référence dans laquelle vous avez trouvé cet phrase ?
    Parce que pour moi, les harmoniques sphériques sont définies sur S2, elles sont à valeurs complexes et définissent donc un champ scalaire complexe non constant sur la sphère S2 ...

    Mais dans votre premier message vous parlez de champ vectoriel puis dans le suivant de champ scalaire ...

    Donc si vous parlez de champs vectoriels alors on a un un théorème qui affirme que sur S2, tout champ vectoriel s'annule au moins une fois (il y a des conditions de régularité en plus, genre C_infini)
     

  8. invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Mixoo Voir le message
    Bonjour,
    vous trouvez pas ça plus simple de dire "sur la sphère S^2, il n'y a que des champs scalaires complexes constant" Plutôt que d'utiliser une double négation ?
    Heu... Si c'est plus simple en effet

    Pourriez-vous nous donner la référence dans laquelle vous avez trouvé cet phrase ?
    Malheureusement j'ai pas de reference precise, parce que c'est des photocopies de notes de cours, que m'a passé une amie.


    Parce que pour moi, les harmoniques sphériques sont définies sur S2, elles sont à valeurs complexes et définissent donc un champ scalaire complexe non constant sur la sphère S2 ...
    Je ne comprends pas plus que vous. Mais ca m'embete parce que ca a l'air important.

    Mais dans votre premier message vous parlez de champ vectoriel puis dans le suivant de champ scalaire ...
    Oui, c'est en precision (en fait ca semble etre la justification du truc, pas de champ vectoriel, car pas de champ scalaire)

    Donc si vous parlez de champs vectoriels alors on a un un théorème qui affirme que sur S2, tout champ vectoriel s'annule au moins une fois (il y a des conditions de régularité en plus, genre C_infini)
    Je crois que ce qui est important c'est le "S^2, muni de sa structure complexe classique", je me suis pas trop posé la question sur ce que ca veut dire.

    En fait c'est une introduction sur le concept de fibré et c'est censé etre un exemple du fait qu'un fibré, n'admet pas toujours des sections, et la il est donné ceci comme justification.
     

  9. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Localisation
    Courcelles - Belgique
    Âge
    55
    Messages
    28 946

    Re : UNe affirmation etrange.

    Re,

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    Ben justement non, il est bien dit sur la sphere S^2, il n'y a aucun champ scalaire complexe non constant...

    Je comprends pas comment j'ai pu passer a coté de ca si c'est vrai.
    Est-ce qu'il n'y a pas des conditions particulières ? Du style continuité, invariance sous telle ou telle transformation,...

    Parce qu'a priori on peut associer à chaque point de la sphère un scalaire arbitraire....

    Et le théorème de la boule chevelue prouve bien qu'il peut y avoir des champs de vecteurs non constant.

    Ou alors c'est la sphère de Riemann et il y aurait quelque chose qui nous échappe ? (un truc de mathématicien )

    Il n'y a pas un contexte qui nous éclairerait ?
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  10. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    21 630

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    En fait c'est une introduction sur le concept de fibré et c'est censé etre un exemple du fait qu'un fibré, n'admet pas toujours des sections, et la il est donné ceci comme justification.
    Un fibré n'admet pas toujours de section globale.

    Mais pour un champ de vecteurs, c'est à dire une section du fibré vectoriel dont la base est une variété différentiable, il y a toujours au moins une section globale, celle nulle partout (et en fait une infinité, suffit de prendre une section locale qui s'annule au bord, et la prolonger par nul sur le reste).

    Pas un très bon exemple du coup.

    Sur la sphère, un meilleur exemple est le fibré des repères. Il n'a pas de section globale, conséquence du théorème de la boule chevelue.
     

  11. invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Re,



    Est-ce qu'il n'y a pas des conditions particulières ? Du style continuité, invariance sous telle ou telle transformation,...

    Parce qu'a priori on peut associer à chaque point de la sphère un scalaire arbitraire....

    Et le théorème de la boule chevelue prouve bien qu'il peut y avoir des champs de vecteurs non constant.

    Ou alors c'est la sphère de Riemann et il y aurait quelque chose qui nous échappe ? (un truc de mathématicien )

    Il n'y a pas un contexte qui nous éclairerait ?
    Heu... le contexte est une introduction au fibré, et on parle ensuite de variétés complexes, puis il est noté que sur la sphere S^2, il n'y a pas de section du fibré trivial. Puis un peu plus loin, l'affirmation de mon premier message, y a t il un rapport entre les deux?
    PLus tard S^2 est effectivement appelee sphere de Riemann... Ca change des choses?
    Je suis compltement perdue en fait, il n'est fait mention de rien de plus precis concernant ces champs.
     

  12. invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Un fibré n'admet pas toujours de section globale.

    Mais pour un champ de vecteurs, c'est à dire une section du fibré vectoriel dont la base est une variété différentiable, il y a toujours au moins une section globale, celle nulle partout (et en fait une infinité, suffit de prendre une section locale qui s'annule au bord, et la prolonger par nul sur le reste).

    Pas un très bon exemple du coup.

    Sur la sphère, un meilleur exemple est le fibré des repères. Il n'a pas de section globale, conséquence du théorème de la boule chevelue.
    Ok, ca je comprends bien, mais pourquoi alors le fibré trivial n'admet pas de section? (non constante)
    CA a un rapport avec le fait qu'il n'y ait pas de champ scalaire? (non constant).
    Vraiment j'ai rien compris en fait.
    Un champ vectoriel c'est une section d'un fibré?
     

  13. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    21 630

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    mais pourquoi alors le fibré trivial n'admet pas de section? (non constante)
    C'est quoi "le" fibré trivial ??

    Un fibré trivial admet des sections globales. Un fibré trivial, c'est un produit cartésien avec comme projection la projection canonique. Pas très intéressant comme fibré.

    Un champ vectoriel c'est une section d'un fibré?
    Oui, et même une section globale. Du fibré dont la base est une variété (par exemple S2) et la fibre l'espace vectoriel tangent (penser au plan tangent à la sphère en un point, et le voir comme espace vectoriel par exemple celui des vitesses en ce point). Ce fibré est de dimension 4.
     

  14. invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    C'est quoi "le" fibré trivial ??

    Un fibré trivial admet des sections globales
    Heu ben sur ces notes de cours il est bien dit le fibré trivial, et pas un fibré trivial. Je pense que c'est S^2xC, non?
    Il est bien affirmé qu'il ne posse de pas de sections (non constante).



    Oui, et même une section globale. Du fibré dont la base est une variété (par exemple S2) et la fibre l'espace vectoriel tangent (penser au plan tangent à la sphère en un point, et le voir comme espace vectoriel par exemple celui des vitesses en ce point). Ce fibré est de dimension 4.
    C'est noté.
    J'essaie de digerer ca et de vous dire ce que j'en pense.
     

  15. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
    Messages
    21 630

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    Heu ben sur ces notes de cours il est bien dit le fibré trivial, et pas un fibré trivial. Je pense que c'est S^2xC, non?
    Il est bien affirmé qu'il ne possède de pas de sections (non constante).
    S2xC, ensemble des couples (P, z), muni d'une structure de fibré de base S2 par la projection (P,z)--> P, est un fibré trivial.

    Suffit de prendre deux fonctions continues de P vers R, et les combiner en un complexe pour avoir une section globale, il me semble.

    Le fibré tangent, c'est autre chose que le produit cartésien de S2 par C.
     


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