Interprétation de la définition du paquet d'onde. (et normalisation)

Espace-Temps · 13/02/2011 - 19h07

Salut,

Un paquet d'onde ce n'est rien de plus que la superpositions de plusieurs ondes différentes.
Prenons la cas le plus simple: onde planes et 1D

Un paquet d'onde plane peut donc être défini par : $\psi(x,t)=\sum_{k_{min}}^{k_{m ax}} g(k)e^{i(kx -\omega t)}$
où g(k) est l'amplitude qui dépend de k.
Bon ça c'est dans le cas discret, mais si on fait une somme continue sur un intervalle de k on définit le paquet d'onde par:
$<br /> \psi(x,t)=\int_{k_{min}}^{k_{m ax}} g(k)e^{i(kx -\omega t)} dk$
Mais là je comprend pas la signification de dk. Puisque ici on fait la somme d'ondes d'amplitudes g(k)dk. Alors que dans le cas discret on fait la somme d'ondes d'ampltidues g(k) et pas $g(k) \Delta k$ ?

Deuxième question, en fait il s'avère qu'on définie le paquet d'onde en ajoutant un facteur de normalisation:
$<br /> \psi(x,t)=\int_{k_{min}}^{k_{m ax}} g(k)e^{i(kx -\omega t)} \frac{dk}{\sqrt{2 \pi}}$

Je voudrais vérifier qu'on a la condition de normalisation: $\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi (x,t)|^2 dx=1$

Mais je n'y arrive pas, parce que rien que pour calculer le module je me retrouve avec une intégrale double et je ne sais quoi faire.

Alors comment procéder ?

Merci de vous pencher sur mon problème.

**LPFR** · 13/02/2011 - 19h34

Bonjour.
Il est évident que les 'g(k)' dans les deux formules ne sont pas les mêmes. Dans un cas c'est une amplitude et dans l'autre une "densité d'amplitude".
Au revoir.

Cjordan · 13/02/2011 - 19h45

Pour ta deuxieme question :

J'ai survolé trés vite le calcul mais je pense que la méthode serais :

Décrire les 3 intégrale(2 sur k et k' et une sur x)
Mettre en facteur le x dans l'expo, intégrer sur x ce qui te donneras un delta(k-k') avec des coefficient qui annule sans doute la racine, et enfin tu te retrouve avec une intégrale sur k de g(k)^2...

Cjordan · 13/02/2011 - 19h55

Et avec la remarque de LPFR, on obtient bien 1 il me semble ?

vaincent · 13/02/2011 - 20h16

Envoyé par Espace-Temps

Salut,

Un paquet d'onde ce n'est rien de plus que la superpositions de plusieurs ondes différentes.
Prenons la cas le plus simple: onde planes et 1D

Un paquet d'onde plane peut donc être défini par : $\psi(x,t)=\sum_{k_{min}}^{k_{m ax}} g(k)e^{i(kx -\omega t)}$
où g(k) est l'amplitude qui dépend de k.
Bon ça c'est dans le cas discret, mais si on fait une somme continue sur un intervalle de k on définit le paquet d'onde par:
$<br /> \psi(x,t)=\int_{k_{min}}^{k_{m ax}} g(k)e^{i(kx -\omega t)} dk$
Mais là je comprend pas la signification de dk. Puisque ici on fait la somme d'ondes d'amplitudes g(k)dk. Alors que dans le cas discret on fait la somme d'ondes d'ampltidues g(k) et pas $g(k) \Delta k$ ?

Bonsoir,

à l'évidence $g(k)$ n'a pas la même dimension dans la somme discrète et continue. Dans la somme discrète c'est une amplitude (de probabilité en mécanique quantique) et dans la somme continue c'est une densité (spectrale) d'amplitude.

Deuxième question, en fait il s'avère qu'on définie le paquet d'onde en ajoutant un facteur de normalisation:
$<br /> \psi(x,t)=\int_{k_{min}}^{k_{m ax}} g(k)e^{i(kx -\omega t)} \frac{dk}{\sqrt{2 \pi}}$

Je voudrais vérifier qu'on a la condition de normalisation: $\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi (x,t)|^2 dx=1$

Mais je n'y arrive pas, parce que rien que pour calculer le module je me retrouve avec une intégrale double et je ne sais quoi faire.

Alors comment procéder ?

Merci de vous pencher sur mon problème.

On part du fait qu'à t=0, $g(k)$ est la transformée de Fourier de $\psi(x,0)$ . Selon l'égalité de Parseval, $\psi(x,0)$ est normalisé si $g(k)$ l'est. On peut alors choisir que $g(k)$ soit une gaussienne, et par intégration on obtient l'expression de $\psi(x,0)$ . Selon des arguments similaires on peut également obtenir l'expression de la fonction d'onde pour t>0.

Espace-Temps · 13/02/2011 - 20h42

Envoyé par LPFR

Bonjour.
Il est évident que les 'g(k)' dans les deux formules ne sont pas les mêmes. Dans un cas c'est une amplitude et dans l'autre une "densité d'amplitude".
Au revoir.

D'accord, donc si on parle en densité d'amplitude, alors le cas discret devient:

$\sum_{k_{min}}^{k_{max}} \Delta k g(k) e^{i(kx-\omega t)}$

Mais dans ce cas comment on choisi $\Delta k$ ?

J'ai envie de dire $\Delta k=\frac{k_{max}-k_{min}}{n}$ où n est le nombre de superposition que l'on fait.

Mais à priori rien ne m'oblige à faire ce choix et je peux prendre ce que je veux, non ?

Edit: Ok pour la deuxième question merci vaincent

mimo13 · 14/02/2011 - 00h27

Envoyé par Espace-Temps

$\sum_{k_{min}}^{k_{max}} \Delta k g(k) e^{i(kx-\omega t)}$

Mais dans ce cas comment on choisi $\Delta k$ ?

J'ai envie de dire $\Delta k=\frac{k_{max}-k_{min}}{n}$ où n est le nombre de superposition que l'on fait.

Ce n'est peut être pas la réponse que vous attendez mais si on fait l'analogie entre les deux formules: (Je nomme la densité d'amplitude f pour qu'il n'y est pas confusion)

$\sum_{k_{min}}^{k_{max}} \Delta k f(k) e^{i(kx-\omega t)}$

$\sum_{k_{min}}^{k_{max}} g(k) e^{i(kx-\omega t)}$

De là, je peux vous dire de prendre n'importe quoi pour $\Delta k$ , je prendrai $f(k)= \frac{g(k)}{\Delta k}$ ...

La question qu'il faut se poser c'est quel avantage peut présenter le fait d'écrire $\Delta k f(k)$ au lieu de tout simplement $g(k)$ ...

Espace-Temps · 14/02/2011 - 11h34

Envoyé par mimo13

Ce n'est peut être pas la réponse que vous attendez mais si on fait l'analogie entre les deux formules: (Je nomme la densité d'amplitude f pour qu'il n'y est pas confusion)

$\sum_{k_{min}}^{k_{max}} \Delta k f(k) e^{i(kx-\omega t)}$

$\sum_{k_{min}}^{k_{max}} g(k) e^{i(kx-\omega t)}$

De là, je peux vous dire de prendre n'importe quoi pour $\Delta k$ , je prendrai $f(k)= \frac{g(k)}{\Delta k}$ ...

La question qu'il faut se poser c'est quel avantage peut présenter le fait d'écrire $\Delta k f(k)$ au lieu de tout simplement $g(k)$ ...

ouais d'accord, mais ce qui me chagrine c'est que le paquet d'onde dépend non seulement de la densité d'amplitude mais également du choix des $\Delta k$

vaincent · 14/02/2011 - 12h23

Envoyé par Espace-Temps

ouais d'accord, mais ce qui me chagrine c'est que le paquet d'onde dépend non seulement de la densité d'amplitude mais également du choix des $\Delta k$

Non la fonction d'onde ne dépend pas du choix de $\Delta k$ , puisqu'on a justement la liberté de choisir $f(k)$ comme étant égale à $g(k)/\Delta k$ . Ce "choix" vient de la définition d'une somme de Riemann et de sa convergence vers l'intégrale du même nom. On montre dans ce cadre mathématique, que la convergence de la série ne dépend pas du choix du pas $\Delta k$ .